Sur un article de 1954 signé N. Cuesta
une traduction

Here is a translation from Spanish to French of a paper dating back to 1954, published by N. Cuesta.

The paper deals mainly with partially, and totally, ordered sets. Two subjects are specially dealt with: Construction of new ordered sets starting from a family of those. Completion of ordered sets by tools akin to Dedekind cuts. Curiously enough, the so-called surreal numbers (later defined by Conway, in 1974) are already there, thirty years before.

The translation is done for research purposes. It is not intended to obtain financial gains. I tried, with the precious help of my grand niece, Aya Nay Haddad, to find the “copyright owner”, without success. The librarians at Columbia University gave her some advice about the matter.

So, to my knowledge there is no copyright owner. The author of the paper, Norberto Cuesta, died in 1989 (last century).

Just in case there still are copyright owners, I beg them to contact me on my email address.

Tous mes remerciements   Aya Nay, pour son aide, sans qui je n’aurais jamais r ussi   d m ler les probl mes de droit d’auteur ni p n trer les arcanes de ce domaine complexe !

Il s’agit d’une traduction en français de l’une des premi res publications de Norberto Cuesta Dutari. C’est un article,  crit en espagnol, paru dans la Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Fisicas et Naturales de Madrid, intitul  Algebra Ordinal, publi  en 1954 et sign , simplement, N. Cuesta [ 3 ]. Il est tir  de la th se qu’avait soutenue le jeune math maticien en 1943.

J’en ai eu connaissance en parcourant le livre tr s document  et pr cieux de Alling [ 1 ] : comme son titre le pr cise, ce livre est un trait  qui porte sur les nombres surr els. Mais le titre ne le dit pas, c’est ainsi que l’on appelait couramment les nombres introduits par Conway dans les ann s 1970.

Alling donne la r f rence   l’article de Cuesta mais ne signale point o  on peut le trouver.

Aucune des biblioth ques que j’ai contact es ne poss dait ce num ro particulier de la Revista. Il faut rappeler qu’en ce temps-l  l’Espagne vivait toujours quelque peu isol e du reste du monde. Trouver une copie de l’article s’est r v l   tre une t che tr s difficile. Cette traduction est quasiment une affaire de famille.

En effet, n’arrivant pas   obtenir une copie de l’article de Cuesta, je me suis adress    mon ami et excellent coll gue, Charles Helou, Professeur de math matiques   l’Universit  d’État de Pensyvalnie. Il est arriv , en sollicitant les biblioth caires de son institution   obtenir enfin une copie du texte, si difficile   d nicher. Comme on peut le voir sur la couverture de la revue, reproduite ci-dessous, l’exemplaire provenait de la biblioth que du D partement de l’Agriculture des États-Unis, curieusement. Comme on peut le remarquer  galement, en dessous, la copie, avec les courbures de ses pages, n’est pas facile   exploiter, sur un ordinateur.

See g1

See g2

Aussi, est-ce ma ni ce, Samar Haddad, qui a r ussi   l’aide d’outils informatiques sp ciaux   faire appara tre le texte aplani et bien plus maniable, comme on peut le constater sur la reproduction ci-dessous.

Cela ne r solvait pas, pour autant, tous les probl mes soulev s par la traduction. Il fallait encore retrouver un peu de la saveur particuli re de la langue espagnole de Cuesta. C’est ma ch re  pouse, Claude Boisnard Haddad, qui m’a amplement aid    tenter de la reproduire.

On n’a pas corrig , dans les formules, les quelques coquilles et les rares omissions. On a essay  de les reproduire telles quelles, autant que faire se peut, afin de garder son authenticit  au texte. Elles seront ais ment corrig es par le lecteur.

J’ai essay  de respecter le plus scrupuleusement possible les notations de l’original et sa mise en page. Tous les d fauts et les erreurs qui y persistent sont de mon fait. Je ne m’en vante pas mais les revendique !

See g3

UNE TRADUCTION

Cet essai se pr sente comme une incursion profonde, et audacieuse, dans la jungle des ordres partiels, jusqu’  pr sent tellement inexplor e, bien que les recherches math matiques les plus diverses y conduisent.

L’une des questions que nous abordons est la formation syst matique (n^o8) que, pour l’ensemble, nous avons r alis e dans notre th se, publi e en 1943. Sont essentielles pour cela les notions de trou et de remplissage d’un trou par de nouveaux  l ments. Le remplissage simultan  que nous introduisons ici, nous a permis d’expliquer l’ordre naturel des trous d’un ordre quelconque (n^o10), c’est- -dire celui qu’ils ont par rapport   l’ordre dont ils sont les trous. Pour trouver l’explication de cet ordre, il nous fallait entrer syst matiquement dans cette jungle sans risquer de nous perdre dans des d tails insignifiants. Le crit re de l’ordre, pour les trous, (voir le d but du n^o10) nous a surpris par sa simplicit .

Nous avons construit (n^o11), pour tout cardinal, l’univers de tous les ordres – partiels et totaux – r alisables sur un ensemble ayant ce cardinal. Cela signifie, pour nous, avoir cern  la contr e que nous avons explor e.

Les ordres totaux satur s  tant les voies naturelles vers un ordre partiel, il fallait les examiner, ainsi que leur croisement et les trous par lesquels ils passent (n^o12). Nous  tudions  galement les transversales compl tes (n^o13) car, si ce sont des ensembles amorphes, au fond, ils entretiennent des relations ordinales int ressantes avec leur alentour.

Pour notre  tude, nous avons eu recours   diverses figures que nous retenons pour leur grand pouvoir suggestif que nos lecteurs appr cieront bien que celles que l’on peut dessiner ne couvrent qu’une infime partie des ordres possibles. Ces figures incitent    tudier la gen se des ordres partiels par fusion conjointe d’ordres totaux (n^o14).

Le titre de l’article est d  aux op rations g n ratrices que nous introduisons, et qui constituent le langage avec lequel l’appr hension mentale de ces objets subtils et insaisissables peut  tre r alis e rapidement et en toute s curit .

1.–Les structures binaires en g n ral

D signant par $M\times P$ l’ensemble des paires ordonn es $mp$ form es par les  l ments g n riques respectifs $m$ et $p$ de ces ensembles, $M\times M$ repr sentera les paires ordonn es form es   l’aide du seul ensemble $M$.

Sur un ensemble $M$, la structure $(M\&)$ consistera en la donn e,   l’aide du signe de relation &, lorsque, pour certaines paires ordonn es appartenant   $M\times M$, le signe de relation peut s’intercaler, en  crivant $a\ \&\ b$.

Les  l ments r flexifs de $(M\&)$ sont ceux pour lesquels on a $r\ \&\ r$. Nous dirons que les autres sont irr flexifs.

Lorsque deux  l ments $a$ et $b$ v rifient simultan ment

$$a\ \&\ b\ \text{et}\ b\ \&\ a$$

nous dirons que ces deux  l ments forment une paire sym trique de la structure binaire $(M\&)$. En particulier, on compte parmi eux les paires form es d’ l ments r flexifs.

Si de ces deux relations une seule est satisfaite, on dira que la paire form e des deux  l ments $a$ et $b$ est asym trique.

Si on ne pouvait  crire aucune, nous dirions que les deux  l ments $a$ et $b$ sont incomparables. En particulier, un  l ment irr flexif est incomparable   lui-m me. Dans les autres cas, nous dirons que les  l ments $a$ et $b$ sont comparables.

Pour d signer diverses structures binaires, surtout lorsque l’ensemble structur  est le m me, nous mettrons des accents, ou des indices, au signe de la relation.

Nous dirons que la structure binaire $(M\&_{1})$ est plus faible que la structure $(P\&_{2})$ lorsque :

1.^∘) $M$ est un sous-ensemble de $P$.

2.^∘) deux  l ments $a$ et $b$ de $M$ qui v rifient $a\ \&_{1}\ b$ v rifient  galement $a\ \&_{2}\ b$. Nous  crirons $(M\&_{1})\leqslant(P\&_{2})$.

Une paire de sous-ensembles $A$ et $B$ non vides, sans  l ments communs, sont dits non connect s dans $(M\&)$ lorsque, quels que soient $a$ et $b$, respectivement de $A$ et $B$, sont incomparables.

On dira que la structure $(M\&)$ est connexe lorsqu’il n’existe aucun sous-ensemble $X$ de $M$ non connect    son compl mentaire $M-X$.

R unir les structure binaires $(M^{j}\&)_{j\in J}$ c’est former la nouvelle structure $(\sum_{j\in J}M^{j}\&)$ sur l’ensemble r union o  l’on aura $a\ \&\ b$ lorsque l’on avait $a\ \&\ b$ dans l’une au moins des structures $(M^{j}\&)$.

Toute structure binaire $(M\&)$ est r union d’autres structures $(M^{j}\&)$ dont chacune est connexe et qui sont non connect es deux   deux.

En effet : d signons par $a\varphi$ l’ensemble obtenu en adjoignant   l’ l ment $a$ tous ceux qui lui sont comparables. En r it rant l’op ration $\varphi$, on obtient la suite

$$a\subseteq a\varphi_{1}\subseteq a\varphi_{2}\subseteq a\varphi_{3}\subseteq\dots\subseteq a\varphi_{n}\subseteq\cdots$$

o

$$a\varphi_{n}\equiv(a\varphi_{n-1})\varphi$$

tant sous-entendu que

$$a\varphi_{1}\equiv a\varphi$$

On  crit

$$M^{1}\equiv\lim_{n\to\omega_{0}}(a\varphi_{n})$$

$M^{1}$ est connexe : en effet; d signons, de deux sous-ensembles compl mentaires, par $X$ celui qui contient $a$; par $Y$ son compl mentaire. Si ces deux sous-ensembles  taient non connect s, on aurait,  tant entendu que

$$a\varphi_{0}\equiv a$$

pour tout entier $i\geqslant 0$ : si

$$a\varphi_{i}\subseteq X\ ,\ a\varphi_{i+1}.Y\equiv{\rm O}\ \therefore\ a\varphi_{i+1}\subseteq X$$

donc

$$M^{1}\subseteq X$$

et $Y$ serait vide.

$M^{1}$ est relativement ferm e; cela veut dire

$$M^{1}\varphi\equiv M^{1}$$

En effet : quel que soit l’ l ment $m$ de $M^{1}$, il appara tra   une  tape $a\varphi_{n}$; de sorte que tous les $m\varphi$ figurent dans $a\varphi_{n+1}$; et puisque

$$M^{1}\varphi\equiv\sum_{m\in M^{1}}m\varphi\subseteq M^{1}$$

tant  vident que

$$M^{1}\subseteq M^{1}\varphi$$

des deux r sulte l’identit  annonc e.

De cette identit  s’ensuit clairement que si $M-M^{1}\not\equiv 0$, $M^{1}$ et son compl mentaire seraient non connect s.

Prenant $b$ dans $M-M^{1}$ s’il n’est pas vide, on obtient de mani re analogue $(M^{2}\&)$  galement connexe, et ainsi de suite.

On voit ais ment que cette d composition de $(M\&)$, en structures binaires connexes, deux   deux non connect es, est univoque.

Nous  crirons $A\ \&\ B$  tant donn s $A$ et $B$ sous-ensembles de $M$, lorsque, quels que soient $a$ et $b$,  l ments respectivement de $A$ et $B$, $a\ \&\ b$ est vrai. Soit $M_{1}$ le syst me des sous-ensembles de $M$, la structure $(M\&)$ nous permet de d finir $(M_{1}\&)$. À cette op ration g n ratrice nous donnerons le nom de sousconjoindre dans $(M<)$. Évidemment, on peut r it rer et obtenir $(M_{2}\&)$. Si $M_{\omega_{0}}$ d signait l’ensemble qui comprend tous les pr c dents, $(M_{\omega_{0}}\&)$ d signerait n cessairement d finie sur $M_{\omega_{0}}$, la relation $\&$ suivant les  tapes pr c dentes; donc

$$(M_{\omega_{0}}\&)\equiv\ \left(\sum_{O\leqslant n<\omega_{0}}M_{n}\&\right)$$

Cela pourrait  tre poursuivi encore, donnant un sens au symbole $(M_{\alpha}\&)$ pour n’importe quel ordinal $\alpha$ donn .

Nous appellerons ligne compl te de $(M\&)$ la sous-structure $(L\&)$ induite sur un sous-ensemble $L$ de $M$ lorsqu’il n’existe pas dans $L$ de paires d’ l ments incomparables et que chaque  l ment de $M-L$ est incomparable   chacun des  l ments de $L$.

Nous appellerons transversale compl te de $(M\&)$ tout sous-ensemble $T$ de $M$ dont les paires d’ l ments diff rents sont incomparables, chaque  l ment de $M-T$  tant comparable   certains  l ments de $T$.

Les  l ments de $M$ solutions de la relation

$$x\ \&\ a$$

pour un $a$ donn  de $M$, forment un ensemble que nous d signerons $\underset{*}{a}$. De mani re analogue,   droite, on aura le symbole $\overset{*}{a}$.

Fermer   gauche un ensemble $A$ voudra dire lui adjoindre les  l ments de $\underset{*}{a}$ pour chacun de ses  l ments $a$. En le d signant par $\underline{A}$, on aura

$$\underline{A}\equiv A+\sum_{a\in A}\underset{*}{a}$$

De m me, on d finira $\overline{A}$ et on aura

$$\overline{A}\equiv A+\sum_{a\in A}\overset{*}{a}$$

Inverser la structure $(M\&)$ c’est construire la nouvelle structure $(M\&^{\prime})$ o  $a\ \&^{\prime}\ b$  quivaut   $b\ \&\ a$.

Il convient d’observer que, en donnant le nom $P$ au sous-ensemble de $M\times M$ form  des paires li es par le symbole de relation $\&$, et $N$  tant l’ensemble des  l ments qui appara ssent dans les paires de $P$, le seul r ellement structur  est l’ensemble $N$. En passant de $(N\&)$   $(M\&)$, les  l ments de $M-N$ n’ont aucune relation entre eux, ni avec les  l ments de $N$. On peut dire que $(N\&)$  tait le noyau structur  tandis que $M-N$  tait un r sidu amorphe.

Par cons quent, il sera plausible de consid rer comme isomorphes au sens large deux structures $(M\&_{1})$ et $(Q\&_{2})$ lorsque les structures de leurs noyaux le sont au sens strict.

2.–Les structures binaires transitives

À l’aide du symbole $(M\to)$ nous repr sentons les structures binaires transitives, autrement dit, celles pour lesquelles

$$a\to b\ \text{et}\ b\to c\ \text{impliquent}\ a\to c$$

Un exemple suggestif de ces structures est fourni par la figure jointe

En intercalant le symbole de la relation $\to$ dans les diverses paires de $M\times M$, on obtient des relations ou propositions.

Nous dirons que l’une de ces propositions est vraie lorsque la relation correspondante est v rifi e dans $(M\to)$; sinon, nous dirons qu’elle est fausse. Ainsi, la structure $(M\to)$ constitue le crit re de v rit .

La loi transitive fonctionne comme un m canisme d ductif pour le syst me de toutes les propositions. Lorsqu’on l’applique   des propositions vraies, il nous en donne d’autres vraies.

Quel que soit le sous-ensemble de $M\times M$, en intercalant le symbole de la relation $\to$ dans ses paires, nous obtenons un sous-ensemble $P$ de l’ensemble des propositions. En appliquant directement la loi de transitivit    ses paires de propositions,   l’aide d’un  l ment moyen commun, on obtient un nouvel ensemble $P\varphi$. En r it rant le proc d  sur cet ensemble de propositions et ainsi, successivement, on aura

$$P\subseteq P\varphi_{1}\subseteq P\varphi_{2}\subseteq P\varphi_{3}\subseteq\dots\subseteq P\varphi_{n}\subseteq\cdots$$

o , pour pour chaque ordinal fini $n$, on interpr te

$$P\varphi_{n}\equiv(P\varphi_{n-1})\varphi\ \text{sous-entendu}\ P\varphi_{1}\equiv P\varphi$$

S’il se v rifie que

$$P\varphi_{n-1}\equiv P\varphi_{n}$$

dans toutes les  tapes suivantes, on n’en obtiendra rien de nouveau; mais, si cela ne se produit   aucune des  tapes finies, l’ensemble limite, que nous d signerons par $P\varphi_{\omega_{0}}$, est transitivement ferm . En effet : si lui appartiennent

$$a\to b\ \ \text{et}\ \ b\to c$$

toutes deux apparaissant ensemble, pour la premi re fois, en $P\varphi_{n}$; alors

$$a\to c$$

appara t, si ce n’est fait avant, assur ment en $P\varphi_{n+1}$; par cons quent, $a\to c$ appartient   $P_{\omega_{0}}$.

Quelle que soit l’ tape de la fermeture, comme il a  t  dit $\leqslant\omega_{0}$, nous d signerons par $P\overline{\varphi}$ l’ensemble, transitivement ferm , o  s’arr te l’efficacit  du m canisme d ductif. Nous appellerons cet ensemble $P\overline{\varphi}$ la fermeture d ductive de $P$. À l’aide de cet ensemble $P\overline{\varphi}$ on peut d finir, sur $M$, une structure $(M\to)$ dont les paires li es sont pr cis ment celles donn es par $P\overline{\varphi}$.

La subordination entre $P$ et $P\overline{\varphi}$ d termine la structure topologique ferm e $(M\times M\overline{\varphi})$, int ressante car ses sous-ensembles ferm s, d terminent de mani re biunivoque les structures binaires transitives possibles sur l’ensemble $M$.

Si la structure $(M\to)$ est donn e a priori, l’ensemble $P$  tant inclus dans l’ensemble $W$ des propositions vraies par rapport   $(M\to)$, et si $(M\to_{1})$ est la structure d termin e par $P\overline{\varphi}$, la structure $(M\to_{1})$ serait plus faible que $(M\to)$; en symboles

$$(M\to_{1})\leqslant(M\to)$$

Si elle  tait strictement plus faible, ce serait parce que $(W-P\overline{\varphi})$ ne serait pas vide. Ses propositions vraies ne viendraient jamais par d duction en partant de celles de $P$. Nous dirions que les vraies, contenues dans $(W-P\overline{\varphi})$  taient transcendantes par rapport   $P$.

Lorsque $P\overline{\varphi}$ co ncide avec $W$, la structure engendr e serait celle initialement donn e $(M\to)$. Ayant  t  suffisant de donner la relation $\to$ uniquement entre les paires comprises dans $P$, nous dirons que c’est une base de $(M\to)$.

En g n ral, les sous-ensembles $X$ de $M\times M$ qui v rifient

$$X\overline{\varphi}\equiv W$$

sont divers. Le syst me de leur ensemble, structur  par la relation binaire d’inclusion stricte $\subset$,  galement transitive, est d’un grand int r t. On dira que la base $P$ est r ductible lorsque l’une des ses parties strictes est aussi une base : sinon, elle sera dite irr ductible. Il n’est pas exclu qu’il existe plusieurs bases irr ductibles pour une structure binaire transitive $(M\to)$, donn e a priori. Lorsque, parmi l’ensemble des bases, il y en a une contenue dans chacune des autres, on dira que c’est une base absolue de $(M\to)$. A priori, il n’est pas exclu que des structures existent non seulement sans base absolue, mais m me sans aucune base irr ductible. A posteriori, on sait qu’il y en a : par exemple, il est facilement prouv  que l’ordre arithm tique des nombres rationnels manque d’une base irr ductible. (*)

(*) Voir notre article «Mod les d ductifs ordinaux» (Rev. Mat. Hisp. Am. (IV) 13 (1953).

Étant donn  le syst me de structures $(M^{j}\to)$, d fini sur les ensembles $M^{j}$, d termin s pour chacun des  l ments $j$ d’un certain ensemble $J$, pouvant avoir – et c’est le cas le plus int ressant – des ensembles $M^{j}$ avec  l ments communs, la structure

$$\left(\sum_{j\in J}M^{j}\to\right)$$

qui, gr ce   la loi transitive, n’est pas la simple r union des $(M^{j}\to)$, nous l’appellerons con-fusion – donnant   ce mot sa valeur g n tique – des structures du syst me $(M^{j}\to)$. Si $M^{\prime}$ et $M"$ avaient des  l ments communs, au moyen de ceux-ci, et de la loi transitive, deux  l ments non communs de $M^{\prime}$ et $M"$ pourraient  tre li s.

Dans la figure 1, on peut consid rer la structure $(M\to)$, issue de la fusion conjointe de structures semblables, situ es sur chacune des droites qui la composent. Dans la figure 2 jointe, la structure $(M\to)$ est obtenue par con-fusion des structures $(A\to)$ et $(B\to)$, situ es sur chacun des traits qui la compose. Les morceaux $(1,2,1)$ et $(3,4,5,6,7,5,3)$ contiennent les  l ments r flexifs.

Les propri t s suivantes des structures binaires transitives m ritent d’ tre mentionn es :

a) Les  l ments d’une paire sym trique sont r flexifs.

En effet : $a\ \to\ b$ et $b\ \to\ a$ impliquent aussi bien $a\ \to\ a$ que $b\ \to\ b$.

Par cons quent, les structures binaires transitives, sans  l ments r flexifs, n’ont pas de paires sym triques. Bien s r une structure transitive peut avoir des  l ments r flexifs, sans qu’il soit n cessaire qu’elle contienne des paires sym triques d’ l ments diff rents.

b) Si une structure binaire est transitive, des  l ments sym triques   un troisi me sont sym triques entre eux. La preuve est triviale.

c) Si $a\ \to\ c\ \to b$ devait  tre vraie et que les  l ments $a$ et $b$  taient sym triques, on aurait aussi $b\ \to\ c\ \to\ a$

En effet : de $b\ \to\ a$ et $a\ \to\ c$ r sulte $b\ \to\ c$

De m me de $c\ \to\ b$ et $b\ \to\ a$ r sulte $c\ \to a$

d) Toute ligne compl te de la structure $(M\to)$ contient, avec l’ l ment $m$, tous ses sym triques.

En effet : soit $(L\to)$ la ligne compl te. Les  l ments de $L$ v rifient ou bien

$$m\ \to\ l^{\prime\prime}\ \text{ou}\ l^{\prime}\ \to m$$

ou encore les deux. Soit $p$ un  l ment sym trique de $m$

$$\text{de}\ l^{\prime}\ \to m\ \ \text{et}\ m\ \to\ p\ \ \text{s'ensuit}\ l^{\prime}\ \to\ p$$

$$\text{de}\ p\ \to\ m\ \text{et}\ m\ \to\ l^{\prime\prime}\ \ \text{s'ensuit}\ p\ \to\ l^{\prime\prime}$$

Comme le voit, $p$ est comparable aux  l ments de la ligne et dans le m me sens que $m$.

3.–La classification des structures binaires transitives

Dans le tableau suivant, par caract ristiques tr s visibles, nous classons les structures binaires transitives.

$\begin{cases}1\ \text{Irr\ flexifs}\\ \text{(pas d'\ l\ ments r\ flexifs)}.\\ \text{Symbole}\ (M<).\\ \\ \text{ORDRES}\\ \\ 2\ \text{R\ flexifs}\\ \text{(tous les \ l\ ments sont r\ flexifs)}\\ \text{Symbole}\ (M\leqslant).\\ \\ 3\ \text{Avec \ l\ ments r\ flexifs et irr\ flexifs}\par\par\par\end{cases}$

Des exemples clairs [perspicuos] de la troisi me classe, les figures faites en donnent, avec des  l ments r flexifs et irr flexifs. Cependant, cette classe a beaucoup moins d’importance que les pr c dentes car toute structure de cette classe devient une autre de la seconde, rien qu’en  crivant

$$a\leqslant b\ \text{lorsque}\ a\ \to\ b$$

ajoutant aussi

$$a\leqslant a$$

pour chaque  l ment de l’ensemble de base.

Concernant les structures de classification, nous devons en profiter pour rectifier notre affirmation de l’article «Estructuras y programa de Erlangen» [Structures et programme d’Erlangen] que, de la loi sym trique et transitive, suit la loi r flexive car si $a$  tait incomparable   tous les autres, il faudrait n cessairement postuler $a=a$.

4.–Ordre et classification engendr s par une structure $(M\leqslant)$.

Si $a$ et $b$  taient des  l ments, distincts ou identiques, d’une paire sym trique, nous  cririons $a=b$. Ainsi, on obtient une structure binaire $(M=)$ qui est une classification. En effet: elle b n ficie de la loi transitive, puisque les  l ments sym triques   un tiers sont sym triques entre eux; le caract re r flexif est une exigence  vidente de la construction; que les paires asym triques manquent est clair car si nous  crivons $a=b$ c’est parce que les deux sont vrais

$$a\leqslant b\ \ \text{et}\ b\leqslant a$$

ce qui nous permet  galement d’ crire $b=a$.

Si $a=b$ et $a\leqslant x\leqslant b$ sont vraies, alors $a=x=b$ sera  galement vraie.

En effet : la propri t  c) des structures transitives permet d’ crire

$$b\leqslant x\leqslant a$$

et, d’apr s la construction de la structure $(M=)$, on peut  crire

$$a=x=b$$

Par cons quent, les classes d’ l ments  gaux sur chaque ligne compl te de $(M\leqslant)$ sont des intervalles, c’est- -dire des ensembles qui, contenant les  l ments $a$ et $b$, contiennent tous les interm diaires, ceux qui v rifient

$$a\leqslant x\leqslant b$$

Si dans $(M\leqslant)$ les  l ments $a$ et $b$ constituaient une paire asym trique et que $a\leqslant b$  taient vraie, on  crirait $a<b$.

La structure binaire $(M<)$ ainsi obtenue,   partir de $(M\leqslant)$, est un ordre.

En effet : il est clair que la loi transitive est v rifi e, puisque

$$a<b\ \ \text{et}\ b<c\ \text{impliquent pr\ cis\ ment}\ a\leqslant b\ \ \text{et}\ \ b\leqslant c$$

ce qui permet d’ crire $a\leqslant c$. À pr sent, on ne peut pas  crire $c\leqslant a$ car avec le dernier des ant pr c dents on aurait $b\leqslant a$, contraire   l’hypoth se que la paire $(a,b)$ est asym trique; alors nous pouvons  crire $a<c$. Il est clair qu’il n’y a pas d’ l ments r flexifs car dans $(M\leqslant)$ les paires $(a,a$) sont manifestement sym triques.

Les structures $(M=)$ et $(M<)$ d duites de $(M\leqslant)$ sont mutuellement li es selon la loi suivante :

$$a^{\prime}=a<b\ \text{implique}\ a^{\prime}<b\ \text{et aussi}\ a<b=b^{\prime}\ \text{implique}\ a<b^{\prime}.$$

En effet: $a^{\prime}=a$ n cessite $a^{\prime}\leqslant a$, et $a<b$ n cessite $a\leqslant b$; des deuxi me et quatri me, on d duit $a^{\prime}\leqslant b$. Si l’on avait $b\leqslant a^{\prime}$, jointe   $a^{\prime}\leqslant a$, cela donnerait $b\leqslant a$, contre $a<b$; donc $a^{\prime}<b$. La deuxi me implication se d montre de mani re analogue.

De cette propri t  d coule que, si $a_{1}$ et $b_{1}$  taient deux classes de $(M=)$ et entre deux  l ments $a$ et $b$ de celles-ci, $a<b$  tait vaie, on aurait de m me, pour toute autre paire, $a^{\prime}<b^{\prime}$ : cela permet de d finir l’ordre $(C<)$ entre les classes d finies par la classification $(M=)$, qui serait isomorphe   celle subordonn e par $(M<)$ sur l’ensemble $P$ qui ne contiendrait qu’un seul  l ment de chaque classe. La correspondance qui assigne   chaque  l ment de $M$ la classe   laquelle il appartient serait un homomorphisme entre $(M<)$ et $(C<)$.

Quand la structure binaire transitive,  tant r flexive, manque de paires sym triques, dans la structure $(M=)$, d duite de $(M\leqslant)$, chaque  l ment serait unique dans sa classe. La structure $(M<)$ s’obtiendrait,   partir de $(M\leqslant)$, en changeant le signe $\leqslant$ en $<$ dans les paires $a\leqslant b$ d’ l ments diff rents, et en omettant de mettre le signe $<$ entre les paires $a\leqslant a$. Dans ce sens, on peut consid rer les ordres comme le cas 221 des structures $(M\leqslant)$, selon ce que certains ont coutume de faire.

5.–Notions pr liminaires.

L’ordre est la structure binaire transitive $(M<)$ d pourvue d’ l ments r flexifs donc  galement de paires sym triques. Le signe $<$, en s’appuyant sur l’intuition, nous le lirons «pr c de».

Un exemple, assez significatif, est donn  par la figure 3. $M$ est l’ensemble des points du plan contenus dans les lignes de la figure. La relation $a<b$ signifie que l’on peut aller, du premier au second, en suivant toujours le cours des fl ches. La paire $bc$ est incomparable.

Parmi les structures d’ordre $(M<)$, notons les ordres totaux dont l’ tude a  t  entam e par Cantor, dans lesquels les paires incomparables manquent. À ceux qui ne sont pas totaux, leur inventeur Hausdorff les a appel es partiels. En parlant d’ordre, sans pr ciser davantage, nous nous r f rons aux uns et aux autres indistinctement.

Il conviendra d’adjoindre,   la structure $(M<)$, la structure $(M\leqslant)$ r sultant de l’ criture $a\leqslant b$, aussi bien si $a<b$, que si $a$ et $b$  taient identiques.

Dans un ordre, nous appellerons maximum un  l ment $a$ lorsque $\overset{*}{a}$ est vide; c’est- -dire que la relation $a<x$ n’a pas de solutions dans $M$. De la m me mani re, un  l ment $a$ est un minimum lorsque $\underset{*}{a}$ est vide; c’est- -dire que la relation $x<a$ n’a pas de solution dans $M$. Dans la figure 4, les  l ments $a$ et $b$ sont tous deux des maximums.

Lorsqu’un  l ment $a$ est apr s tous les autres, c’est- -dire

$$\underset{*}{a}\equiv M-a$$

nous l’appellerons un supremum. De m me si l’ l ment $a$ pr c de tous les autres, c’est- -dire, que

$$\overset{*}{a}\equiv M-a$$

nous l’appellerions infimum.

Bien s r, s’il y a un supremum, c’est le seul maximum, bien qu’il puisse y avoir un maximum unique, sans que cela suffise   en faire le supremum.

Dans la figure 5, l’ l ment $a$ est supremum. Étant donn  les ordres $(M<)$ et $(N<)$, nous appellerons $(M\times N<)$ l’ordre produit des deux, en disposant les  l ments de l’ensemble $M\times N$, les paires $(m,n)$, lexicographiquement par rapport aux deux.

La con-fusion de structures binaires transitives est toujours possible quel que soit le nombre de structures binaires transitives soumises   la fusion conjointe; donc, si tout ou partie de celles soumises   l’op ration  taient des ordres, la structure r sultant de leur fusion sera binaire transitive, mais ce ne sera pas toujours un ordre. Par exemple, si les traits de la figure 1  taient des ordres dans le sens des fl ches, la structure de con-fusion ne l’est pas en ayant des  l ments r flexifs. Nous nommerons ordinalement inconfusibles (in-con-fusibles) les ordres d’un syst me, lorsque la structure binaire transitive, r sultat de leur confusion, n’est pas un ordre.

On appelle cycles d’une structure binaire transitive les syst mes d’ l ments qui, pour un certain $a$, v rifient la relation

$$a\ \to\ x\ \to\ a$$

condition qu’il existe des solutions autres que $a$ dans le syst me.

C’est une condition n cessaire et suffisante pour que la structure binaire transitive r sultant de la con-fusion des ordres soit aussi un ordre, que l’absence de cycles.

En effet : si l’ordre, par d finition, n’a pas d’ l ments r flexifs, cela rend l’existence de cycles impossible; alors la condition est n cessaire. À son tour, si ce n’ tait pas un ordre, il y aurait des  l ments r flexifs; supposons que $a$ soit l’un d’entre eux, ainsi $a\ \to\ a$ serait vraie dans la structure r sultant de la fusion conjointe; mais, dans les ordres  l mentaires, la relation $a\ \to\ a$ est impossible; alors cela ne peut r sulter qu’en appliquant, apr s la fusion, la loi transitive sur l’ensemble fini des relations

$$a\ \to\ b_{1}\ ,\ b_{1}\ \to\ b_{2}\ ,\ b_{2}\ \to b_{3}\ ,\ \dots\ ,\ b_{n}\ \to\ a$$

tir es des ordres soumis   la fusion conjointes; alors, on aura un cycle.

On notera que la pr sence de paires sym triques est   l’origine de cycles dans la structure; ainsi, leur absence est une condition, n cessaire et suffisante, selon le th or me pr c dent,   la confusion des ordres.

En appliquant   $(M<)$ l’op ration que nous avons appel e sousjonction, on aura, comme on le voit imm diatement, un ordre $(M_{1}<)$ dans le syst me des sous-ensembles. Parfois, seules des sous-structures de $(M_{1}<)$ seront int ressantes, certains sous-ensembles, comme les intervalles, les sections initiales, que nous d finirons par la suite.

6.–Majorant et minorant d’un ensemble.

Soit $A$ un sous-ensemble de $M$ qui inclut les solutions de la relation $A<x$, nous l’appellerons le majorant de $A$, et nous le d signerons par $\overset{*}{A}$. De la m me mani re, le minorant de $A$ est d fini que nous d signerons par $\underset{*}{A}$.

Il est clair que $\overset{*}{A}$  tant l’ensemble des solutions communes au syst me de relations

$$a<x\ \text{pour}\ a\in A$$

on aura

$$\overset{*}{A}\equiv\prod_{a\in A}\overset{*}{a}\ \text{et de m\ me}\ \underset{*}{A}\equiv\prod_{a\in A}\underset{*}{a}$$

De la m me d finition, suivent imm diatement les relations

$$\underset{*}{A}<A<\overset{*}{A}$$

$$A\subseteq B\ \text{implique}\ \overset{*}{B}\subseteq\overset{*}{A}\ \ \text{et}\ \underset{*}{B}\subseteq\underset{*}{A}$$

En effet :

$$\overset{*}{B}\equiv\prod_{b\in B}\overset{*}{b}\equiv\prod_{a\in A}\overset{*}{a}\ .\prod_{c\in B-A}\overset{*}{c}\subseteq\prod_{a\in A}\overset{*}{a}\equiv\overset{*}{A}$$

L’ensemble $\overset{*}{A}$ est le plus grand parmi ceux qui v rifient $A<H^{i}$, donc la r union de tous.

En effet :

$$A<H^{i}\ \text{implique}\ A<\prod H^{i}\subseteq\overset{*}{A}$$

de plus, par d finition, $A<\overset{*}{A}$ ; alors $\overset{*}{A}$ est l’un des ensembles $H^{i}$ donc

$$\overset{*}{A}\subseteq\sum H^{i}$$

des deux r sulte

$$\overset{*}{A}\equiv\sum H^{i}$$

Sont  galement vraies

$$\overset{*}{A}\underset{*}{)}\overset{*}{)}\equiv\overset{*}{A}\ \text{et}\ \underset{*}{A}\overset{*}{)}\underset{*}{)}\equiv A$$

En effet:

$$\overset{*}{A}\underset{*}{)}<\overset{*}{A}\ \ \therefore\ \ \overset{*}{A}\subseteq\overset{*}{A}\underset{*}{)}\overset{*}{)}$$

de plus

$$A<\overset{*}{A}\ \text{donne }\ A\subseteq\overset{*}{A}\underset{*}{)}\ \ \therefore\ \ \overset{*}{A}\underset{*}{)}\overset{*}{)}\subseteq\overset{*}{A}$$

De (a) et (b), tous deux, r sulte le premier du groupe (5).

Si $B\ .\ \overset{*}{A}$ n’est pas vide, nous dirons que $B$ est finalement sup rieur   $A$, en  crivant $A<_{1}B$.

Cette relation binaire entre les sous-ensembles de $M$ donc manifestement transitive et irr flexive, ordonnera – partiellement en g n ral – le syst me $M$ des sous-ensembles de $M$; nous obtenons, ainsi, l’ordre $(M_{1}<_{1})$.

Pour deux sous-ensembles $A$ et $B$ de $M$, nous  crirons

$$A=_{1}B\ \text{lorsque}\ \overset{*}{A}\equiv\overset{*}{B}$$

Il y a ainsi une classification $(M_{1}=_{1})$ pour le syst me de sous-ensembles de $M$ car il est clair que cette relation binaire est transitive, sym trique et r flexive.

L’ensemble r union de tous ceux d’une classe de $(M_{1}=_{1})$ appartient   la m me classe.

En effet : soient $A_{i}$, pour $i\in I$, ceux d’une classe; donc, quel que soit $i$, on aura $\overset{*}{A_{i}}\equiv P$. Posons

$$\sum_{i\in I}A_{i}\equiv S\ \ \therefore\ \ A_{i}\subseteq S\ \ \therefore\ \ \overset{*}{S}\subseteq\overset{*}{A_{i}}\equiv P$$

Comme l’ l ment g n rique de $P$ d passe le g n rique $a_{i}$ de $A_{i}$, on aura

$$P\subseteq\overset{*}{S}$$

De (a) et (b), tous deux, r sulte

$$\overset{*}{S}\equiv P$$

qui stipule que l’ensemble $\displaystyle\sum_{i\in I}A_{i}$ est dans la m me classe que ses sommants.

7 .–Fermetures initiale et finale d’un ensemble.

L’ordre $(M<)$  tant donn , y fermer initialement l’ensemble $A$ signifiera faire l’ensemble $\underline{A}$ qui, avec l’ l ment $a$, contient tous les  l ments qui lui sont ant rieurs. La fermeture finale, dont la d finition est analogue, sera d sign e par $\overline{A}$. Comme on l’a d j  vu au chapitre $1.^{\circ}$, nous aurons

$$\underline{A}\equiv A+\sum\underset{*}{a}\equiv\sum\underline{a}\ \ \ \ \ \ \ \overline{A}\equiv A+\sum\overset{*}{a}\equiv\sum\overline{a}$$

$a$  tant l’ l ment g n rique de $A$.

Ces op rations constituent, sur l’ensemble $M$, deux structures topologiques d termin es par la structure d’ordre $(M<)$.

Les ensembles ferm s initialement, nous les appellerons sections initiales de l’ordre $(M<)$. Les ferm s finalement, sections finales. Nous appellerons intervalle de $(M<)$ les sous-ensembles $S$ de $M$ dans lesquels,  tant donn s $a<b$, tous ceux compris entre eux apparaissent  galement dans $S$, c’est- -dire ceux qui v rifient

$$a<x<b$$

Si $S$ n’avait pas de paires d’ l ments comparables, nous l’appellerions  galement un intervalle.

Evidemment $\underline{A}\ .\ \overline{A}$ sera la fermeture segmentaire de l’ensemble $A$.

$$\text{De}\ A\subseteq B\ \text{d\ coule}\ \underline{A}\subseteq\underline{B}\ \text{et}\ \overline{A}\subseteq\overline{B}$$

En effet :

$$\underline{B}\equiv\sum_{b\in B}\underline{b}\equiv\sum_{a\in A}\underline{a}+\sum_{c\in B-A}\underline{c}\ \ \therefore\ \ \underline{A}\equiv\sum_{a\in A}\underline{a}\ \subseteq\ \sum_{b\in B}\underline{b}\equiv\underline{B}$$

qui est le premier du groupe (7).

Une cons quence imm diate de la d finition de la section initiale est que la r union, et aussi l’intersection, d’un syst me de sections initiales, est encore une section initiale.

En effet : soient $A_{i}$ pour $i\in I$ les sections initiales du syst me consid r . $\displaystyle\sum_{i\in I}A_{i}$ contient, avec les  l ments $a\in A_{i}$, tous ceux de l’ensemble $\underset{*}{a}$; c’est donc une section initiale. De m me, si $a\in\displaystyle\prod_{i\in I}A_{i}$, c’est qu’il appara t dans tout $A_{i}$, quel que soit $i\in I$; alors il appara t  galement dans tous les $A_{i}\underset{*}{a}$, et donc $\displaystyle\prod_{i\in I}A_{i}$ est aussi section initiale.

La fermeture initiale $\underline{A}$ d’un ensemble $A$, dans $(M<)$, est l’intersection des sections initiales contenant $A$.

En effet : soit S la section initiale g n rique dans laquelle $A$ est contenu

$$\text{de}\ A\subseteq S\ \text{vient}\ \underline{A}\subseteq\underline{S}=S$$

Comme $\underline{A}$ est  galement l’une des sections initiales contenant $A$, il en r sultera ce qui pr c de, et que $\underline{A}$ est le minimum de celles qui contiennent $A$.

On dit qu’un ordre $(M<)$ est ramifi , (Kurepa) quand $(\underline{m}<)$ est un ordre total, pour tout $m\in M$. La figure 6 donne un exemple de ces ordres tr s int ressants.

Nous disons cofinaux dans $(M<)$ les ensembles $A$ et $B$ et, plus pr cis ment les ordres induits, lorsque leurs fermetures initiales co ncident; c’est   dire

$$(A<)\ \text{et}\ \ (B<)\ \text{sont cofinaux}\ \ \text{si}\ \underline{A}\equiv\underline{B}$$

Corr lativement, sont d finis les co nitiaux.

Chacune de ces relations d finit, sur $M$, une classification; c’est- -dire, en nous r f rant   ce qui a  t  express ment nomm , nous  crirons

$$A\equiv_{2}B\ \text{lorsque}\ \underline{A}\equiv\underline{B}$$

C’est une condition n cessaire et suffisante pour la confinalit  de $A$ et $B$ que, quelle que soient ses  l ments g n riques, $a$ et $b$ respectivement, la relation

$$a\leqslant x\ \text{ait une solution dans}\ B,\ \text{et}\ b\leqslant x\ \text{ait une solution dans}\ A.$$

En effet : supposons qu’ils soient cofinaux. Ayant un $a\in\underline{A}\equiv\underline{B}$, soit il est de $B$, soit il est d pass , donc appartient   $\underline{B}$, par certains de $B$. Identiquement pour le second. Ainsi, la condition est n cessaire. Supposons maintenant que ces relations aient les dites solutions; par la premi re, $\underline{A}\subseteq\underline{B}$; par la seconde, $\underline{B}\subseteq\underline{A}$. Des deux vient $\underline{A}\equiv\underline{B}$, qui est la condition d terminante de la cofinalit .

Nous dirons qu’un ensemble $B$ enveloppe sup rieurement un autre $A$, dans l’ordre $(M<)$, lorsque,

$$\overline{a}.B\not\equiv{\rm O}\ \text{pour tout}\ a\in A$$

c’est- -dire que $B$ p n tre dans la fermeture finale de l’un quelconque des  l ments de l’ensemble $A$. Nous  crirons, alors

$$A\leqslant_{3}B$$

parce que c’est une relation  videmment transitive et r flexive.

Les op rations de fermeture initiale (finale) et de majoration (minoration) sont li es par les propositions suivantes:

$$\overset{*}{A}\ \text{est une section finale de}\ (M<),\text{c'est-\ -dire}\ \overset{*}{A}{{}^{-}}\equiv\overset{*}{A}$$

En effet : si $p\in\overset{*}{A}$, c’est parce que

$$A<p<\overset{*}{p}\ \ \therefore\ \ \overset{*}{p}\ \subseteq\overset{*}{A}$$

c’est- -dire que $\overset{*}{A}$ contient, avec $p$, tous ceux qui le suivent.

C’est la m me chose que de majorer $A$ ou sa fermeture initiale; c’est- -dire

$$\overset{*}{A}\equiv\underline{A})^{*}$$

En effet :

$$\text{De}\ A\ \subseteq\ \underline{A}\ \ \text{vient}\ \ \underline{A})^{*}\ \subseteq\ \overset{*}{A}$$

Quel que soit l’ l ment $q$ de $\underline{A}$, il sera surpass , ou co ncidera, avec certains $a$ de $A$. En tant qu’ l ment g n rique $x$ de $\overset{*}{A}$ v rifie $a<x$, quel que soit $a\in A$; alors, dans les deux cas, $q<x$; donc $x$ appartiendra   l’ensemble $\underline{A})^{*}$ , et ainsi

$$\overset{*}{A}\ \subseteq\ \underline{A})*$$

De (a) et (b), tous deux, resulte (9).

$$\underline{A}\equiv\underline{B}\ \text{implique}\ \overset{*}{A}\equiv\overset{*}{B}$$

En effet :

$$\overset{*}{A}\equiv\underline{A})^{*}\equiv\underline{B})^{*}\equiv\overset{*}{B}$$

8.–Extension syst matique des ordres.

Entre deux ordres $(M<_{1})$ et $(P<_{2})$ nous disons que celui-ci est une extension de celui-l  et nous  crivons

$$(M<_{1})\leqslant^{\prime}(P<_{2})$$

lorsque :

1.${}^{\circ})$ $P$ est un sur-ensemble de $M$.

2.^∘) Les relations d’ordres, pour les  l ments de $M$, sont les m mes dans les deux ordres.

Le signe $\leqslant^{\prime}$, pour aider l’intuition, nous le lirons «immerg  dans»

De l’ordre $(M<_{1})$ nous dirons que c’est un sous-ordre de $(P<_{2})$; de celui-ci que c’est un sur-ordre de $(M<_{1})$.

Nous devons noter que,  tant donn  $(P<_{2})$, en donnant simplement le sous-ensemble $M$ de $P$, on d termine $(M<_{1})$; par cons quent, dans ce cas, on peut utiliser le m me symbole du d part, dans le construit. Au contraire, se donner $(M<_{1})$ et le sur-ensemble strict $P$ de $M$, ne suffisent pas pour d terminer $(P<_{2})$, extension de celle-l , mais, en g n ral, la relation

$$(M<_{1})\leqslant^{\prime}(P<_{x})$$

poss de plusieurs solutions, en l’inconnue $x$. Pr cis ment le probl me de la construction syst matique des ordres inclut celui de l’obtention de toutes les solutions de la relation (11).

Une notion importante est celle d’extension limite. Supposons que le syst me des ordres

$$(M_{i}<_{i})\ \ \text{pour}\ i\in I$$

s’ tende en suivant la variable $i$, d terminant le syst me, dans un sens croissant, l’ordre total, ouvert sup rieurement, $(I<)$; d signant $M$ l’ensemble limite, nous appellerons extension limite, et nous  crirons

$$(M<)\equiv\underset{i\in(I<)}{\overset{\longrightarrow}{\lim}}(M_{i}<_{i})$$

l’ordre $(M<)$, lorsque c’est une extension de tout le syst me.

Une structure que nous soupçonnons d’ tre importante dans l’ tude des ordres est celle constitu e,   travers la relation transitive et r flexive $\leqslant^{\prime}$ «immerg e dans», entre tous les ordres

$$(S_{i}<_{i_{j}})\ i\in I\ i_{j}\in J_{i}$$

du syst me $S_{i}$ de tous les sous-ensembles d’un $M$ donn , homomorphe   la structure d’inclusion $(M_{1}\subset)$ d finie pour tous les sous-ensembles de $M$.

Étant donn e une ligne compl te $(L_{1}\subset)$ de $(M_{1}\subset)$, l’ensemble des ordres possibles, sur la totalit  des sous-ensembles qui la constituent, articul  par la relation stricte d’« immersion » est manifestement un ordre ramifi , puisque le sous-ordre de l’une donn e est d termin  de mani re unique.

En vertu du th or me du bon ordre – ressource puissante, sans son aide peu de choses seraient accomplies dans l’ tude g n rale des structures – l’ensemble $(P-M)$ peut  tre dispos , de plusieurs mani res, en une suite bien ordonn e

$$p_{0},\ p_{1},\ p_{2},\ \dots\ (p_{\alpha}$$

et,  tant donn  l’ordre $(P<_{2})$, on peut consid rer les sous-ordres d rermin s par les ensembles

$$M,M+p_{0},M+p_{0}+p_{1},M+p_{0}+p_{1}+p_{2}\dots$$

donc on peut former l’ordre $(P<_{2})$ partant de $(M<_{1}$) en ajoutant les nouveaux  l ments un   un, de mani re convenable, et en passant   la limite lorsqu’une suite ouverte d’entre eux a  t  ajout e.

L’extension limite n’impliquant pas de nouvelles relations ordinales, puisque seules celles obtenues aux  tapes pr c dentes sont adjointes, il suffit d’examiner les diff rentes mani res possibles d’ tendre un ordre donn , par l’ajonction d’un seul  l ment.

Adjoignant un  l ment $p$, non inclus dans l’ensemble $M$, et formant sur $M+p$ un ordre $(M+p<)$, qui laisse les relations ordinales qui liaient d j  les  l ments de $M$ invariants, dans l’ordre $(M<_{1})$, on distingue, dans $M$, trois classes d’ l ments: ceux d’un ensemble $A$, qui en $(M+p<)$ constituent l’ensemble $\underset{*}{p}$, ceux d’un autre ensemble $B$, qui en $(M+p<)$ constituent $\overset{*}{p}$, et le reste, ceux de $M-(A+B)$, incomparables   $p$, dans l’ordre $(M+p<)$. On a montr  que $\underset{*}{p}$ est une section initiale de $(M<_{1})$, et $\overset{*}{p}$ une autre finale, les deux v rifiant

$$\underset{*}{p}\ <_{1}\ \overset{*}{p}$$

Ainsi, ce proc d , conduit   la notion importante suivante :

Trou d’un ordre $(M<_{1})$, nous appellerons la paire $(A,B)$, constitu e d’une section initiale $A$ et une autre finale $B$, qui v rifient $A<_{1}B$. (*)

(*) Cette notion, g n ralisant celle du m me nom, que, seule pour les ordres totaux, nous avons introduite dans notre th se : Rev. Mat. Hisp.-Am. (IV) 3 (1943). D sormais, elle vaut  galement pour les ordres partiels.

On dit que le nouvel  l ment $p$ occupe le trou $(A,B)$, dans l’extension $(M+p<)$ de $(M<_{1})$ quand les relations d’ordre de $p$ avec les  l ments de $M$ sont d finis par la double relation

$$A<p<B$$

ceux de $M-(A+B)$  tant incomparables   $p$; donc

$$\underset{*}{A}\equiv p\ \ \text{et}\ B\equiv\overset{*}{p}$$

dans l’ordre construit

On a d j  dit que, dans toute extension d’un ordre, avec un nouvel  l ment, celui-ci occupe un trou. Il nous reste   montrer que, quel que soit le trou dans l’ordre $(M<_{1})$, il existe une extension $(M+p<)$ dans laquelle le nouvel  l ment occupe ce trou.

En effet :  tant donn  le trou $(A,B)$ de $(M<_{1})$, adjoignons   ses relations binaires celles qui r sultent en posant

$$A<p<B$$

La structure binaire ainsi obtenue est manifestement transitive lorsque $p$ n’intervient pas dans les paires du transit, ou lorsqu’il ne s’agit pas d’un moyen terme; quand c’en est aussi, car $A<_{1}B$. Qu’il n’y ait pas d’ l ments r flexifs est  vident, car ceux de $M$ ne le sont pas, par hypoth se, ni $p$ par construction. Ainsi $(M+p<)$ est un ordre, et en lui $p$ a occup  le trou $(A,B)$.

Par cons quent, les trous, de l’ordre $(M<_{1})$, indiquent toutes les extensions possibles, par adjonction d’un nouvel  l ment.

Afin de construire syst matiquement toutes les structures d’ordre possibles sur un ensemble $M$, on formera une suite bien ordonn e avec ses  l ments, et en commençant par le premier, les  l ments sont adjoints un   un, en plaçant l’adjonction, de toutes les mani res possibles, dans l’ordre d j  r alis , c’est- -dire en occupant successivement tous les trous de l’ordre mentionn . Nous avons d j  utilis  ce proc d , de formation syst matique, pour les totaux dans notre th se mentionn e. Le lecteur averti notera l’analogie de ce proc d  – mutatis mutandis – avec celui suivi par Steinitz, dans son « Algebraische Theorie der K rper  », pour la construction exhaustive des corps.

Si $r$ et $s$ appartiennent   $M-(A+B)$, lui appartiennent aussi les solutions de la double relation

$$r<_{1}x<_{1}s$$

car $x<_{1}A$ impliquerait l’inclusion de $r$ dans $A$; de m me $x<_{1}B$ impliquerait celle de $s$ dans $B$. Par cons quent, l’ensemble $M-(A+B)$ est un intervalle de l’ordre $M<_{i})$ : nous l’appellerons l’intervalle neutre du trou $(A,B)$.

Nous devons noter que, bien que $(M<_{1})$ ne soit pas connexe, on pourra  tablir, au moyen de l’ l ment joint $p$, la connexion entre les diff rentes parties qui le composent.

9.–Les diff rents types de trous.

Nous appelons trou ext rieur celui, $({\rm O,O})$, dont l’intervalle neutre est tout $M$.

Nous appelons trous couverts ceux, $({\rm O},B)$, dont la section initiale est vide. De mani re analogue, trous appuy s ceux, $(A,{\rm O})$, dont la section finale est vide.

Trous internes appelons-nous les autres, pour lesquels ne sont pas vides, ni leur section initiale, ni leur section finale.

Il est facile de voir qu’il y a des trous $(A,B)$, pour lesquels il n’y a pas de solution dans $M$   la double relation

$$A<_{1}x<_{1}B$$

Par exemple, dans la figure 3; le trou $(\underline{d},\overline{b}+\overline{c})$.

Plus int ressants sont les trous $(A,B)$, pour lesquels $x<_{1}B$ n’a pas de solution dans $M-A$, qui sont les trous $(\underset{*}{B},B)$. Leur sont analogues les trous $(A,\overset{*}{A})$. Il y a encore l’interf rence des deux circonstances, c’est- -dire des trous $(A,B)$ pour lesquelles

$$A\equiv\underset{*}{B}\ \ \text{et}\ B\equiv\overset{*}{A}$$

que nous appelons  troits. Selon les  quations (5) du num ro 6, ces trous sont ceux de la forme

$$\left[\underset{*}{B},\underset{*}{B})^{*}\right]\ \ \text{et}\ \left[\overset{*}{A})_{*},\overset{*}{A}\right]$$

La raison du nom est que son intervalle neutre est le plus petit possible, dans le sens que l’on ne peut pas passer de ses  l ments, adjoints   la section initiale ou finale, de mani re que forment toujours un trou les nouveaux ensembles $A^{\prime}$, $B^{\prime}$.

Un trou  troit $(A,B)$ est disjonctif lorsque son intervalle neutre est vide, consommant ainsi, entre $A$ et $B$ tous les  l ments de $M$. Dans la figure 6, le trou $(\underline{a},\overset{*}{a})$ est disjonctif. Dans les ordres correspondants aux figures 3, 4, 5, il n’y a pas de trous disjonctifs, bien qu’il y ait des trous  troits.

Dans les ordre totaux, lorsque l’extension pr vue est  galement totale, les seuls trous qui pr sentent un int r t sont les  troits, qui sont  galement tous disjonctifs.

Les trous disjonctifs,  ventuels dans un ordre, ont la propri t  suivante :

D signant par $A_{i}$, pour $i\in I$, la partie initiale g n rique d’un syst me de trous disjonctifs, de l’ordre

$$(M<_{i}),\ \sum_{i\in I}A_{i}\ \ \text{et}\ \prod_{i\in I}A_{i}$$

sont aussi des sections initiales de trous disjonctifs.

En effet : comme le montre le no. 7, l’un et l’autre, sont des sections initiales de l’ordre $(M<_{1})$. Soit alors $r$ un  l ment non inclus dans $\displaystyle\sum_{i\in I}A_{i}$, de sorte que, n’apparaissant dans aucun des $A_{i}$, il sera dans chaque $B_{i}$ partie finale du trou disjonctif $(A_{i},B_{i})$ alors

$$A_{i}<_{1}r\ \text{pour}\ i\in I$$

avec lequel $r$ appartiendra   l’ensemble $\left(\displaystyle\sum_{i\in I}A_{i}\right)^{*}$ et, ainsi, de cette mani re, car $r$ est l’ l ment g n rique de $M-\displaystyle\sum_{i\in I}A_{i}$, on aura

$$\sum_{i\in I}A_{i}<_{1}M-\sum_{i\in I}A_{i}$$

ce qui confirme la premi re partie de notre proposition. La seconde se d montre facilement partant de la relation

$$\prod_{i\in I}A_{i}\equiv M-\sum_{i\in I}B_{i}$$

et appliquant la partie d montr e   l’ordre inverse.

10.–Ordre naturel des trous.

Étant donn s $(A,B)$ et $(A^{\prime},B^{\prime})$ deux trous dans l’ordre $(M<_{1})$, occuper simultan ment ces trous, respectivement avec les  l ments $p$ et $q$ c’est d finir une extension $(M+(p,q)<)$ mettant, comme nouvelles relations fondamentales, en plus de celles de $(M<_{1})$ celles implicites dans

$$A<p<B\ \ \text{et}\ A^{\prime}<q<B^{\prime}$$

et appliquant la loi transitive, jusqu’  ce que soit ferm  le syst me de relations d’ordre que nous avons ainsi.

De mani re analogue, l’occupation simultan e de tout syst me de trous dans un ordre est d finie.

Nous d finirons un ordre naturel, pour les trous de $(M<_{1})$, en posant

$$(A,B)<_{1}(A^{\prime},B^{\prime})\ \text{lorsque}\ BA^{\prime}\not\equiv 0$$

Ce crit re ordinal est justifi , parce que, occupant simultan ment tous les trous de $(M<_{1})$, chacun avec un nouvel  l ment, la relation d’ordre entre eux sera pr cis ment celle attribu e aux trous qu’ils occupent; de plus les relations, entre les nouveaux  l ments, doivent se d duire   l’aide de la loi transitive; alors, si les  l ments $p$ et $p^{\prime}$, ajout s dans les trous  crits ci-dessus, v rifient $p<p^{\prime}$, c’est qu’il y avait un  l ment interm diaire, qui serait n cessairement dans $B.A^{\prime}$.

Cette relation binaire, entre les trous de $(M<_{1})$, est manifestement irr flexives car

$$A\ .\ B\equiv 0$$

D montrons qu’elle est transitive

$$(A,B)<_{1}(C,D)\ \ \text{implique}\ B\ .\ C\not\equiv 0$$

$$(C,D)<_{1}(E,F)\ \text{implique}\ D\ .\ E\not\equiv 0$$

soit

$$p\in B.C\ \text{et}\ q\in D.E\ \therefore\ p<_{1}q\ \therefore\ p\in E$$

par suite

$$B.E\not\equiv 0\ \therefore\ (A,B)<_{1}(E,F)$$

Ainsi, la relation  tablie entre les trous est un ordre, deux trous  tant incomparables lorsque

$$B\ .\ A^{\prime}\equiv 0\equiv B^{\prime}\ .\ A$$

et comparable lorsqu’une seule de ces deux est v rifi .

Si un trou $(A,B)$ pr c de un autre $(A^{\prime},B^{\prime})$, la section initiale de celui-l  est incluse dans celui-ci.

En effet : par hypoth se $B,A^{\prime}\not\equiv{\rm O}$

La condition $A\subseteq A^{\prime}$ ne suffit pas pour que deux trous soient comparables car nous d montrerons :

Si

$$A\subseteq A^{\prime}\ \ \text{et}\ B\subseteq B^{\prime}$$

les trous $(A,B)$ et $(A^{\prime},B^{\prime})$ sont incomparables.

En effet :

$$p\in B\ \text{donne}\ p\in B^{\prime}\ \therefore\ p\notin A^{\prime}\ \therefore\ BA^{\prime}\equiv 0$$

$$q\in A\ \text{donne}\ q\in A^{\prime}\ \therefore\ q\notin B^{\prime}\ \therefore\ AB^{\prime}\equiv 0$$

Si les trous comparables sont tous deux disjonctifs et distincts, il est clair que

$$A.B^{\prime}\equiv 0\ \text{implique}\ A\subset A^{\prime}\ \therefore\ B.A^{\prime}\not\equiv 0$$

alors deux trous disjonctifs sont toujours comparables, et la section initiale du pr c dent inclut l’initiale du suivant; donc l’ordre subordonn    l’ordre naturel des trous, pour les trous disjonctifs, est total.