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We prove that the Tate conjecture in codimension $1$ over a finitely generated field follows from the same conjecture for surfaces over its prime subfield. In positive characteristic, this is due to de Jong–Morrow over $\mathbf{F}_{p}$ and to Ambrosi for the reduction to $\mathbf{F}_{p}$ . We give a different proof than Ambrosi’s, which also works in characteristic $0$ ; over $\mathbf{Q}$ , the reduction to surfaces follows from a simple argument using Lefschetz’s $(1,1)$ theorem.

Sur la conjecture de Tate pour les diviseurs

Bruno Kahn IMJ-PRG
Case 247
4 place Jussieu
75252 Paris Cedex 05
France [email protected]

(

1^{er}

février 2023)

Résumé

On montre que la conjecture de Tate en codimension $1$ sur un corps de type fini résulte de la même conjecture pour les surfaces sur son sous-corps premier. En caractéristique positive, ceci est dû à de Jong–Morrow sur $\mathbf{F}_{p}$ et à Ambrosi pour la réduction à $\mathbf{F}_{p}$ . Nous montrons cette dernière réduction d’une manière différente, qui fonctionne aussi en caractéristique zéro. Sur $\mathbf{Q}$ , la réduction aux surfaces se fait par un argument facile reposant sur le théorème $(1,1)$ de Lefschetz.

keywords:

Tate conjecture, divisors

1991 Mathematics Subject Classification:

[2020] 14C25

Introduction

La conjecture de Tate est l’une des plus célèbres en géométrie arithmétique: formulée en 1965 dans [24], elle prédit que l’application classe de cycle $l$ -adique [9]

\operatorname{cl}^{i}_{X}:CH^{i}(X)\otimes\mathbf{Q}_{l}\to H^{2i}(X_{k_{s}},\mathbf{Q}_{l}(i))^{Gal(k_{s}/k)}

(1)

est surjective pour tout entier $i\geq 0$ et toute variété projective lisse $X$ sur un corps $k$ de type fini, de caractéristique différente de $l$ et de clôture séparable $k_{s}$ . Elle a été démontrée dans de nombreux cas particuliers, mais reste ouverte en général même pour $i=1$ . Pour un exposé détaillé qui reste largement d’actualité, je renvoie à [26] (voir aussi [17]).

Il est connu que pour $i=1$ , la conjecture de Tate pour les corps premiers l’implique en général: en caractéristique zéro cela se déduit du théorème de spécialisation des groupes de Néron-Severi dû à Yves André ([2, Theorem 5.2 3], [1, 1.3.3]), et en caractéristique positive cela résulte d’un théorème d’Emiliano Ambrosi [1, th. 1.2.1]. Ambrosi démontre plus: la conjecture de Tate en codimension $i$ sur les corps finis l’implique pour tous les corps de type fini de caractéristique positive, sous une hypothèse de semi-simplicité qui résulte de la conjecture de Tate quand $i=1$ . Sa preuve, étendant au cas d’un corps fini un argument d’André en caractéristique zéro [2, §5.1], utilise le théorème global des cycles invariants de Deligne et la cyclicité du groupe de Galois absolu de $\mathbf{F}_{p}$ .

L’objet de cette note est d’offrir une démonstration plus élémentaire de cette réduction (uniquement pour $i=1$ ), qui fonctionne uniformément en toute caractéristique: inspirée de la preuve de [12, th. 8.32 a)], elle consiste à étendre la conjecture de Tate aux variétés lisses ouvertes (théorème 1). Cette idée, due originellement à Jannsen [10], permet de remplacer avantageusement le recours au théorème global des cycles invariants par une simple utilisation du critère de dégénérescence des suites spectrales de Deligne [4, 5]. Un argument élémentaire de correspondances permet par ailleurs de se débarrasser aisément du problème de semi-simplicité qui apparaît aussi chez Jannsen (lemme 2 et proposition 1).

D’après de Jong et Morrow [21], la conjecture de Tate pour $i=1$ en caractéristique positive se réduit même au cas des surfaces sur un corps fini (cette dernière conjecture étant par ailleurs équivalente à la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer pour les variétés abéliennes sur les corps de fonctions d’une variable sur $k$ , voir remarque 1). La même chose est vraie en caractéristique zéro (théorème 2), en utilisant le théorème (1,1) de Lefschetz via les théorèmes de comparaison cohomologiques.

English introduction

The famous Tate conjecture, which predicts that the $l$ -adic cycle class map (1) is surjective for smooth projective varieties $X$ over finitely generated fields $k$ , was formulated back in 1965 [24], but remains open up to now, even though it has been proven in important special cases [26, 17]. This is so even for $i=1$ .

In this case, the Tate conjecture over prime fields implies it in general by work of Emiliano Ambrosi [1, th. 1.2.1 and 1.3.3]. In characteristic $0$ , the argument uses Yves André’s specialisation theorem for the Néron-Severi group [2, Theorem 5.2 3], while in positive characteristic, Ambrosi’s proof relies in particular on the cyclicity of $Gal(\bar{\mathbf{F}}_{p}/\mathbf{F}_{p})$ .

The aim of this note is to offer a simple proof of this reduction, which works uniformly in all characteristics (Proposition 3). It is however special to codimension $1$ , while Ambrosi’s argument also works (in positive characteristic) in any codimension $i$ under a semi-simplicity hypothesis which follows from Tate’s conjecture if $i=1$ .

There are two ideas: the first is to get rid of the semi-simplicity issue by a simple argument of correspondences (Lemma 2), and the second is to extend the Tate conjecture for divisors from smooth projective to (all) smooth varieties (Theorem 1). This idea goes back to Jannsen [10]; its point is that it allows us to replace Ambrosi’s use of Deligne’s global invariant cycles theorem (an argument going back to André in characteristic $0$ [2, §5.1]) by the degeneracy of the $l$ -adic Leray spectral sequence, also due to Deligne. This is a reformulation of the arguments given in [12, proof of th. 8.32 a)], specialised to codimension $1$ (see also [13, Th. 3.4]); the first idea is new.

When $k=\mathbf{F}_{p}$ , a theorem of de Jong and Morrow [21] even reduces the Tate conjecture for divisors to surfaces. (This case is in turn equivalent to the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for abelian varieties over global fields of positive characteristic, see Remark 1.) Over $\mathbf{Q}$ , the same reduction holds (Theorem 2): the proof involves the Lefschetz (1,1) theorem via the cohomological comparison theorems.

1. Notations

Soient $k$ un corps et $X$ une $k$ -variété lisse. Soient $k_{s}$ une clôture séparable de $k$ et $l$ un nombre premier différent de $\operatorname{car}k$ . On note $H^{j}(X,i):=H^{j}(X_{k_{s}},\mathbf{Q}_{l}(i))$ ; de même pour la cohomologie à supports. On note $\operatorname{cl}^{i}_{X}:CH^{i}(X)\otimes\mathbf{Q}_{l}\to H^{2i}(X,i)$ la classe de cycle, et simplement $\operatorname{cl}_{X}$ pour $\operatorname{cl}^{1}_{X}$ .

2. Une rétraction

Supposons $X$ projective de dimension $d$ . Pour $i\leq d$ , choisissons une base $(\bar{Z}^{1},\dots,\bar{Z}^{r})$ du groupe $N^{i}(X)_{\mathbf{Q}}$ des cycles de codimension $i$ sur $X$ modulo l’équivalence numérique, à coefficients rationnels et notons $(\bar{Z}_{1},\dots,\bar{Z}_{r})$ la base duale dans $N_{i}(X)_{\mathbf{Q}}$ , de sorte que $\langle\bar{Z}^{i},\bar{Z}_{j}\rangle=\delta_{ij}$ ¹¹1Rappelons que $N^{i}(X)_{\mathbf{Q}}$ et $N_{i}(X)_{\mathbf{Q}}$ sont des $\mathbf{Q}$ -espaces vectoriels de dimension finie [7, ex. 19.1.4], mis en dualité par l’accouplement d’intersection.. Relevons les $\bar{Z}^{i}$ and $\bar{Z}_{i}$ en des classes de cycle $Z^{i}\in CH^{i}(X)_{\mathbf{Q}}$ , $Z_{i}\in CH_{i}(X)_{\mathbf{Q}}$ . Soit (cf. [14, dém. de la prop. 7.2.3])

e=\sum_{a}Z^{a}\times Z_{a}\in CH^{d}(X\times X)_{\mathbf{Q}}

vu comme correspondance algébrique, où $\times$ est le cross-produit des cycles.

Lemme 1.

On a $e^{2}=e$ .

Démonstration.

Pour $Z,Z^{\prime}\in CH^{i}(X)$ et $T,T^{\prime}\in CH_{i}(X)$ , on a l’identité

(Z\times T)\circ(Z^{\prime}\times T^{\prime})=\langle Z^{\prime},T\rangle Z\times T^{\prime}

dans l’anneau des correspondances de Chow $CH^{d}(X\times X)$ , où $\langle,\rangle$ est le produit d’intersection: cela résulte immédiatement de la définition de la composition des correspondances [7, Déf. 16.1.11]. ∎

Lemme 2.

Soit $V$ le sous-espace vectoriel de $\operatorname{Im}\operatorname{cl}^{i}_{X}$ engendré par les $Z^{a}$ . L’action de $e$ sur $H^{2i}(X,i)$ définit une rétraction $G$ -équivariante de l’inclusion $V\hookrightarrow H^{2i}(X,i)$ . En particulier, si $i=1$ , elle définit une rétraction de $\operatorname{cl}_{X}$ .

Démonstration.

Soit $x\in H^{2i}(X,i)$ . Pour $(Z,T)\in CH^{i}(X)\times CH_{i}(X)$ , on a

(Z\times T)^{*}x=<x,\operatorname{cl}_{i}(T)>\operatorname{cl}^{i}(Z)

où $<,>$ est l’accouplement de Poincaré, cf. [7, déf. 16.1.2]. Cela montre que $e(H^{2i}(X,i))\allowbreak\subset V$ , et aussi que sa restriction à ce sous-espace est l’identité.

Le cas $i=1$ résulte du théorème de Matsusaka [20] (équivalences homologique et numérique coïncident en codimension $1$ ). ∎

3. Passage aux variétés lisses ouvertes

Supposons $k$ de type fini, et $X$ seulement lisse. On s’intéresse à l’extension suivante de la conjecture de Tate:

$T(X)$ :: l’homomorphisme “classe de diviseur” $\operatorname{cl}_{X}:\operatorname{Pic}(X)\otimes\mathbf{Q}_{l}\to H^{2}(X,1)^{G}$ est surjectif, où $G=Gal(k_{s}/k)$ .
$T(k)$ :: $T(X)$ pour toutes les $k$ -variétés lisses $X$ .

Aux notations près, cette conjecture est due à Jannsen [10, conj. 7.3], qui l’étend même aux variétés singulières (avec l’homologie de Borel-Moore). Dans [10, th. 7.10 b)], il la réduit au cas des variétés projectives lisses sous une hypothèse de semi-simplicité (b), en bas de [10, p. 113]) qui n’est pas connue en général même pour $H^{2}$ . Le but de cette section est de faire cette réduction (théorème 1) en évitant l’hypothèse de semi-simplicité grâce à la proposition 1 ci-dessous. Bien sûr, ceci ne marche que pour les cycles de codimension $1$ !

Dans la suite, on note

H^{2}_{\operatorname{tr}}(X,1)=\operatorname{Coker}\operatorname{cl}_{X}.

Proposition 1.

Pour $X$ projective lisse, $T(X)$ équivaut à $H^{2}_{\operatorname{tr}}(X,1)^{G}\allowbreak=0$ .

Démonstration.

L’implication $H^{2}_{\operatorname{tr}}(X,1)^{G}=0$ $\Rightarrow$ $T(X)$ est évidente. L’autre résulte du lemme 2. ∎

Lemme 3.

Soit $f:X^{\prime}\to X$ un morphisme fini et plat de $k$ -variétés lisses. Alors $T(X^{\prime})\Rightarrow T(X)$ .

Démonstration.

En effet, $f^{*}:H^{2}(X,1)\to H^{2}(X^{\prime},1)$ admet la rétraction $G$ -équivariante $(1/\deg(f))f_{*}$ , et ces deux homomorphismes commutent avec les homomorphismes correspondants entre $\operatorname{Pic}(X)\otimes\mathbf{Q}_{l}$ et $\operatorname{Pic}(X^{\prime})\otimes\mathbf{Q}_{l}$ via $\operatorname{cl}_{X}$ et $\operatorname{cl}_{X^{\prime}}$ . ∎

Proposition 2.

a) Soit $U$ un ouvert de $X$ . Alors $T(U)\Rightarrow T(X)$ .
b) La réciproque est vraie si $X$ est projective.

Démonstration.

Notons que $\operatorname{cl}_{X}$ se factorise par $\operatorname{NS}(X)\otimes\mathbf{Q}_{l}$ où $\operatorname{NS}(X)$ est le groupe de Néron-Severi de $X$ . Soit $Z=X-U$ (structure réduite). On a un diagramme commutatif aux lignes exactes

\tiny{\begin{CD}\bigoplus\limits_{x\in Z\cap X^{(1)}}\mathbf{Q}_{l}@>{}>{}>\operatorname{NS}(X)\otimes\mathbf{Q}_{l}@>{}>{}>\operatorname{NS}(U)\otimes\mathbf{Q}_{l}@>{}>{}>0\\ @V{}V{}V@V{\bar{\operatorname{cl}}_{X}}V{}V@V{\bar{\operatorname{cl}}_{U}}V{}V\\ H^{2}_{Z}(X,1)@>{\delta}>{}>H^{2}(X,1)@>{}>{}>H^{2}(U,1)@>{}>{}>H^{3}_{Z}(X,1)\end{CD}}

(2)

où la ligne du bas est la suite exacte de cohomologie à supports et la flèche verticale de gauche est surjective (en fait bijective) par semi-pureté [9, 2.2.6 et 2.2.8]. On en déduit un nouveau diagramme commutatif aux lignes exactes

\tiny{\begin{CD}&&\bigoplus\limits_{x\in Z\cap X^{(1)}}\mathbf{Q}_{l}@>{}>{}>\operatorname{NS}(X)\otimes\mathbf{Q}_{l}@>{}>{}>\operatorname{NS}(U)\otimes\mathbf{Q}_{l}@>{}>{}>0\\ &&@V{}V{}V@V{\bar{\operatorname{cl}}_{X}}V{}V@V{\bar{\operatorname{cl}}_{U}}V{}V\\ 0@>{}>{}>\operatorname{Im}\delta @>{}>{}>H^{2}(X,1)^{G}@>{}>{}>H^{2}(U,1)^{G}\end{CD}}

(3)

où la flèche verticale de gauche est surjective. L’assertion résulte alors d’une petite chasse aux diagrammes.

b) Supposons d’abord $k$ parfait. D’après a), on peut choisir $U$ aussi petit qu’on veut. Prenons $Z=X-U$ assez gros pour contenir des diviseurs $D_{1},\dots,D_{r}$ dont les classes engendrent $\operatorname{NS}(X)$ . Alors $\operatorname{NS}(U)=0$ et il faut montrer que $H^{2}(U,1)^{G}=0$ . Or le diagramme (2) montre que la suite

\operatorname{NS}(X)\otimes\mathbf{Q}_{l}\xrightarrow{\bar{\operatorname{cl}}_{X}}H^{2}(X,1)\to H^{2}(U,1)\to H^{3}_{Z}(X,1)

est exacte. Avec la notation de la proposition 1, on a donc une suite exacte

0\to H^{2}_{\operatorname{tr}}(X,1)^{G}\to H^{2}(U,1)^{G}\to H^{3}_{Z}(X,1)^{G}.

Si $T(X)$ est vrai, le terme de gauche est nul par cette proposition. Il reste à voir que le terme de droite l’est également. Soit $Z^{\prime}$ la réunion du lieu singulier de $Z$ et de ses composantes irréductibles de codimension $\geq 2$ dans $X$ : la suite exacte de cohomologie à supports

0\simeq H^{3}_{Z^{\prime}}(X,1)\to H^{3}_{Z}(X,1)\to H^{3}_{Z-Z^{\prime}}(X-Z^{\prime},1)\simeq H^{1}(Z-Z^{\prime},0)

où le premier (resp. second) isomorphisme est par semi-pureté (resp. par pureté) [9, 2.2.8], montre que $H^{3}_{Z}(X,1)^{G}$ s’injecte dans $H^{1}(Z-Z^{\prime},0)^{G}$ . Mais ce dernier groupe est trivial, car $H^{1}(Z-Z^{\prime},0)$ est mixte de poids $\geq 1$ [3, cor. 3.3.5].²²2Au moins sur un corps fini, ce dernier point peut se déduire plus élémentairement du théorème antérieur de A. Weil pour les courbes [27, n° 48], en utilisant le fait que $H^{1}(Z-Z^{\prime},0)$ est isomorphe au module de Tate rationnel de la variété d’Albanese de $Z-Z^{\prime}$ via un morphisme d’Albanese.

L’argument ci-dessus utilise implicitement le fait que les composantes irréductibles de codimension $1$ de $Z$ sont génériquement lisses. Pour obtenir ceci quand $k$ est imparfait, il suffit de passer à une extension radicielle finie convenable de $k$ , ce qui ne change ni $H^{2}(X,1)$ , ni $\operatorname{Pic}(X)\otimes\mathbf{Q}_{l}$ , ni $G$ . ∎

Théorème 1.

$T(X)$ est vrai pour les $k$ -variétés lisses de dimension $d$ si et seulement s’il est vrai pour les $k$ -variétés projectives lisses de dimension $d$ .

Démonstration.

Soit $X$ lisse de dimension $d$ . Choisissons une immersion ouverte dense $X\hookrightarrow X_{0}$ où $X_{0}$ est propre. D’après [11, Th. 4.1], on peut trouver une altération $\pi:\tilde{X}\to X_{0}$ avec $\tilde{X}$ projective lisse et $\pi$ génériquement fini. Soit $U\subset X$ un ouvert tel que $\pi_{|\pi^{-1}(U)}$ soit fini et plat.

Supposons $T(\tilde{X})$ vrai. Par la proposition 2 b), $T(\pi^{-1}(U))$ est vrai. D’après le lemme 3, $T(U)$ est donc vrai, et enfin $T(X)$ est vrai par la proposition 2 a). ∎

4. Changement de corps de base

Proposition 3.

Soit $K/k$ une extension de corps de type fini. Alors $T(k)\iff T(K)$ .

Démonstration.

En quatre étapes; les deux premières et la dernière sont bien connues et valables en toute codimension; elles sont rappelées pour la clarté de l’exposition. Pour plus de précision, on note ici $G_{K}=Gal(K_{s}/K)$ .

1) Soit $X$ lisse sur $K$ , connexe et de corps des constantes $L$ . Comme $X$ est lisse, $L/K$ est séparable. Je dis que, avec des notations évidentes, $T(X/K)\iff T(X/L)$ . En effet, le $G_{K}$ -module $H^{2}(X/K,1)$ est induit du $G_{L}$ -module $H^{2}(X/L,1)$ , donc $H^{2}(X/K,1)^{G_{K}}\xrightarrow{\sim}H^{2}(X/L,1)^{G_{L}}$ .

2) L’énoncé est vrai si $K/k$ est finie séparable. En effet, $\Rightarrow$ résulte immédiatement de 1). Pour $\Leftarrow$ , on se ramène à $K/k$ galoisienne en considérant sa clôture galoisienne; si $X$ est lisse sur $k$ , $T(X_{K})$ implique alors $T(X)$ en prenant les invariants sous $Gal(K/k)$ .

3) Soit $k_{0}$ le sous-corps premier de $K$ ; montrons que $T(k_{0})\Rightarrow T(K)$ . Il suffit grâce au théorème 1 de montrer que $T(k_{0})$ implique $T(X)$ pour toute $K$ -variété projective lisse $X$ . L’argument est une version simplifiée de celle de [12, th. 8.32 a)].

On peut supposer $X$ connexe. Soit $L$ son corps des constantes, et soit $k_{1}$ la fermeture algébrique de $k_{0}$ dans $L$ . Puisque $k_{1}$ est parfait, l’extension $L/k_{1}$ est régulière; choisissons-en un $k_{1}$ -modèle lisse $S$ . Quitte à remplacer $S$ par un ouvert, étendons $X$ en un $S$ -schéma projectif lisse $f:\mathcal{X}\to S$ . Notant $\bar{S}=S\otimes_{k_{1}}k_{s}$ , on a la suite spectrale de Leray (de $\mathbf{Q}_{l}[[G_{k_{1}}]]$ -modules)

E_{2}^{p,q}=H^{p}(\bar{S},R^{q}f_{*}\mathbf{Q}_{l}(1))\Rightarrow H^{p+q}(\mathcal{X},1).

D’après [4] (voir aussi [5]), le choix d’une section hyperplane lisse $\mathcal{Y}/S$ de $\mathcal{X}/S$ et le théorème de Lefschetz difficile [3, th. 4.1.1] font dégénérer cette suite spectrale, montrant aussi que la filtration sur l’aboutissement est scindée³³3Le résultat précis de [4, Prop. 2.4] ou de [5, §2 ou §3] est que $Rf_{*}\mathbf{Q}_{l}$ est isomorphe à $\bigoplus_{i\geq 0}R^{i}f_{*}\mathbf{Q}_{l}[-i]$ dans la catégorie dérivée.. En particulier, l’homomorphisme “edge” $H^{2}(\mathcal{X},1)\to E_{2}^{0,2}=H^{2}(X,1)^{\pi_{1}(\bar{S})}$ admet une section $G_{k_{1}}$ -équivariante; par conséquent, $H^{2}(\mathcal{X},1)^{G_{k_{1}}}\to H^{2}(X,1)^{G_{L}}$ est surjectif; en effet, $G_{L}\to\pi_{1}(S)$ est surjectif puisque $S$ est géométriquement connexe. Avec les notations de 1), on a donc $T(\mathcal{X}/k_{0})\Rightarrow T(\mathcal{X}/k_{1})\Rightarrow T(X/L)\Rightarrow T(X/K)$ . (Noter que $k_{1}/k_{0}$ est séparable puisque $k_{0}$ est parfait.)

4) Finalement, montrons que $T(K)\Rightarrow T(k_{0})$ , ce qui terminera la démonstration. Soit, comme ci-dessus, $k_{1}$ la fermeture algébrique de $k_{0}$ dans $K$ . Donnons-nous une $k_{0}$ -variété projective lisse $X$ ; rappelons que $\operatorname{NS}(X_{k_{1}})\otimes\mathbf{Q}_{l}\to\operatorname{NS}(X_{K})\otimes\mathbf{Q}_{l}$ est bijectif (c’est vrai en général pour les classes de cycles modulo l’équivalence algébrique, voir par exemple [15, prop. 5.5] et sa preuve). Ceci montre que $T(X_{K})\Rightarrow T(X_{k_{1}})$ ; mais d’autre part $T(X_{k_{1}})\Rightarrow T(X)$ par 2). ∎

Théorème 2.

Soit $k_{0}$ le sous-corps premier de $k$ . Alors $T(S)$ pour toutes les surfaces projectives lisses $S$ sur $k_{0}$ $\Rightarrow$ $T(k)$ .

Démonstration.

D’après la proposition 3, on se ramène à $k=k_{0}$ . Si $k=\mathbf{Q}$ , soit $X$ une variété projective lisse connexe de dimension $d\geq 2$ , de corps des constantes $k_{1}$ . D’après le point 1) de la preuve de la rpoposition 3, on peut remplacer $\mathbf{Q}$ par $k_{1}$ . Choisissons un plongement complexe $k_{1}\hookrightarrow\mathbf{C}$ . Par les théorèmes de comparaison, l’équivalence homologique $l$ -adique pour $X\otimes_{k_{1}}\bar{\mathbf{Q}}$ coïncide avec la même pour $X\otimes_{k_{1}}\mathbf{C}$ , qui coïncide avec l’équivalence homologique pour la cohomologie de Betti; notons $A^{i}_{\operatorname{hom}}(\bar{X})$ les quotients correspondants. Choisissons un $k_{1}$ -plongement projectif $X\hookrightarrow\mathbf{P}^{N}$ , d’où un faisceau très ample $L$ ; le théorème de Lefschetz fort (pour la cohomologie de Betti) implique que $\cup c_{1}(L)^{d-2}:A^{1}_{\operatorname{hom}}(\bar{X})\to A^{d-1}_{\operatorname{hom}}(\bar{X})$ est injectif, et même bijectif grâce au théorème (1,1) de Lefschetz [19, preuve du cor. 1]. Comme $A^{*}_{\operatorname{hom}}(X)\xrightarrow{\sim}A^{*}_{\operatorname{hom}}(\bar{X})^{Gal(\bar{\mathbf{Q}}/k_{1})}$ , on a aussi un isomorphisme $\cup c_{1}(L)^{d-2}:A^{1}_{\operatorname{hom}}(X)\xrightarrow{\sim}A^{d-1}_{\operatorname{hom}}(X)$ . Mais, si $i:S\hookrightarrow X$ est une surface (lisse, connexe) ample donnée par le théorème de Bertini, cet isomorphisme se factorise en

A^{1}_{\operatorname{hom}}(X)\xrightarrow{i^{*}}A^{1}_{\operatorname{hom}}(S)\xrightarrow{i_{*}}A^{d-1}_{\operatorname{hom}}(X)

et de même pour l’isomorphisme correspondant $H^{2}(X,1)\xrightarrow{\sim}H^{2d-2}(X,d-1)$ , de manière compatible aux classes de cycles. Une petite chasse aux diagrammes montre alors que $T(S)\Rightarrow T(X)$ .

Si $k=\mathbf{F}_{p}$ , Morrow se ramène d’abord au cas $\dim X\leq 3$ par le théorème de Lefschetz faible pour la cohomologie $l$ -adique [6, cor. I.9.4] et pour le groupe de Picard [8, cor. 4.9 b)], puis au cas d’une surface dans [21, th. 4.3]. Le premier point est un peu délicat, comme me l’a fait remarquer Juan Felipe Castro Cárdenas: il n’est pas clair que, pour le groupe de Picard, Lefschetz faible soit vrai pour les diviseurs réduits, en l’absence du théorème d’annulation de Kodaira (cf. [8, rem. 4.10]). Néanmoins, l’argument de la preuve de [21, th. 4.3] pour réduire le cas de la dimension $3$ à celui de la dimension $2$ marche aussi bien, et même mieux, pour réduire le cas de la dimension $d+1$ à celui de la dimension $d$ quand $d\geq 3$ : dans ce cas, toutes les inclusions horizontales du diagramme de la page 3495 sont des égalités. ∎

Remarque 1.

D’après [18], la conjecture $T(S)$ pour les surfaces $S$ sur un corps fini $k$ est équivalente à la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer pour les jacobiennes de courbes sur les corps de fonctions d’une variable $K/k$ . Cette dernière implique la même conjecture pour toute variété abélienne $A$ définie sur $K$ : en effet, ladite conjecture est équivalente à la finitude de la composante $l$ -primaire $\cyr{X}(K,A)\{l\}$ du groupe de Tate-Šafarevič $\cyr{X}(K,A)$ [23, 16]. Si $i:C\hookrightarrow A$ est une courbe ample, l’homomorphisme $i_{*}:J(C)\to A$ est surjectif (Weil, voir [22, Lemma 2.3]), donc il existe $\sigma:A\to J(C)$ tel que $i_{*}\circ\sigma$ soit la multiplication par un entier $n>0$ , d’où $n\cyr{X}(K,A)\subset i_{*}\cyr{X}(K,J(C))$ . Mais on sait que $\cyr{X}(K,A)\{l\}$ est de cotype fini, donc la finitude de $\cyr{X}(K,J(C))\{l\}$ implique celle de $\cyr{X}(K,A)\{l\}$ .

À ce stade, il est obligatoire de terminer avec la question évidente:

Question 1.

Peut-on réduire le cas de caractéristique zéro à celui de la caractéristique positive?

Par changement de base propre et lisse et par le théorème de Čebotarev, cette question est équivalente à la suivante:

Question 2.

Soit $S$ une $\mathbf{Q}$ -surface projective lisse, et soit $\alpha\in H^{2}(S,1)$ . Supposons que, pour (presque) tout nombre premier $p$ de bonne réduction, la spécialisation de $\alpha$ en $p$ soit algébrique. Est-ce que $\alpha$ est algébrique?

Références

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[5] P. Deligne Décompositions dans la catégorie dérivée, in Motives, Proc. Symposia Pure Math. 55 (1), AMS, 1994, 115–128.
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