A short review on TBA equation and scattering amplitude/Wilson loop duality
 
热力学Bethe拟设和散射振幅

经典弦的运动由其运动学方程以及约束条件所决定。Pohlmeyer约化为解析这些复杂的方程提供了一种有效的途径[26, 27, 22, 31]。本章节，我们将介绍AdS时空中经典弦的Pohlmeyer约化。为了简化，我们主要介绍AdS₃的情形。

AdS_d空间可以被视作 $R^{(2,d-1)}$空间中的一个双曲面嵌入

$$\vec{Y}\cdot\vec{Y}=-Y_{-1}^{2}-Y_{0}^{2}+Y_{1}^{2}+\cdots+Y_{d-1}^{2}=-1,$$

(2.1)

其中$\vec{Y}$是$R^{(2,d-1)}$空间中的向量。弦的世界面的作用量为

$$S=\int dz^{2}\Big{(}\partial\vec{Y}\cdot\bar{\partial}\vec{Y}-\Xi(z,\bar{z})(\vec{Y}\cdot\vec{Y}+1)\Big{)}.$$

(2.2)

这里 $z,\bar{z}$ 是世界面的坐标， $\Xi(z,\bar{z})$是拉格朗日乘子法。从作用量，我们很容易得到世界面的运动学方程以及Virasoro限制条件：

$$\partial\bar{\partial}\vec{Y}-(\partial\vec{Y}\cdot\bar{\partial}\vec{Y})\vec{Y}=0,\quad\partial\vec{Y}\cdot\partial\vec{Y}=0,\quad\bar{\partial}\vec{Y}\cdot\bar{\partial}\vec{Y}=0.$$

(2.3)

我们首先引入以下AdS₃时$SO(2,2)$转动下不变的物理量：

	$\displaystyle e^{2\alpha(z,\bar{z})}=$	$\displaystyle\frac{1}{2}\partial\vec{Y}\cdot\bar{\partial}\vec{Y},\quad N_{a}=\frac{e^{-2\alpha}}{2}\epsilon_{abcd}Y^{b}\partial Y^{c}\bar{\partial}Y^{d}$		(2.4)
	$\displaystyle p=$	$\displaystyle-\frac{1}{2}\vec{N}\cdot\partial^{2}\vec{Y},\quad p=-\frac{1}{2}\vec{N}\cdot\bar{\partial}^{2}\vec{Y}，\quad a=-1,0,1,2.$

这些量满足 $\vec{N}\cdot\vec{N}=1,\vec{N}\cdot\vec{Y}=0,\vec{N}\cdot\partial\vec{Y}=0$ 以及 $\vec{N}\cdot\bar{\partial}\vec{Y}=0$。此外，通过(2.3), 我们很容易发现$p=p(z)$是一个全纯函数。利用这些$SO(2,2)$不变量，我们可以引入一组正交基$(q_{1},q_{2},q_{3},q_{4})$:

$$q_{1}=\vec{Y},\quad q_{2}=\frac{e^{-\alpha}}{2}(\bar{\partial}\vec{Y}-\partial\vec{Y}),\quad q_{3}=\frac{e^{-\alpha}}{2}(\bar{\partial}\vec{Y}+\partial\vec{Y}),\quad q_{4}=\vec{N},$$

(2.5)

其满足 $q_{i}\cdot q_{j}={\rm diag}(-1,-1,1,1)$。利用运动学方程及Virasoro约束(2.3)，我们可以计算这组正交基的微分

$$\partial q_{i}=:B_{ij}q_{j},\quad\bar{\partial}q_{i}=:A_{ij}q_{j},$$

(2.6)

其中，$A$和$B$是由$SO(2,2)$不变量写作的矩阵

$$A=\left(\begin{array}[]{cccc}0&e^{\alpha}&e^{\alpha}&0\\ -e^{\alpha}&0&\bar{\partial}\alpha&e^{-\alpha}\bar{p}\\ e^{\alpha}&\bar{\partial}\alpha&0&e^{-\alpha}\bar{p}\\ 0&e^{-\alpha}\bar{p}&-e^{-\alpha}\bar{p}&0\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}[]{cccc}0&-e^{\alpha}&e^{\alpha}&0\\ e^{\alpha}&0&-\partial\alpha&e^{-\alpha}p\\ e^{\alpha}&-\partial\alpha&0&-e^{-\alpha}p\\ 0&e^{-\alpha}p&e^{-\alpha}p&0\end{array}\right).$$

(2.7)

从由自洽性条件（或可积条件） $\partial\bar{\partial}q_{i}=\bar{\partial}\partial q_{i}$，我们得到$A,B$的平坦性条件

$$\partial A-\bar{\partial}B+[A,B]=0.$$

(2.8)

将(2.7)带入，我们得到与(2.3)等价的方程

$\displaystyle\partial\bar{\partial}\alpha-e^{2\alpha}+e^{-2\alpha}p\bar{p}=0,\quad\bar{\partial}p=\partial\bar{p}=0.$

(2.9)

第一个条件被称作修改sinh-Gordon方程。

将此问题用旋量基重新表述是很有益处的。$SO(2,2)$群可以表达为两个$SL(2)$群的直积，即$SL(2)\times SL(2)$。时空向量$\vec{Y}$与内禀坐标$q_{i}$均能通过$SL(2)\times SL(2)$的双旋量来描述

$$W_{\alpha\dot{\alpha},a\dot{a}}=\frac{1}{2}(q_{i})_{a\dot{a}}\tilde{\sigma}_{\alpha\dot{\alpha}}^{i}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}[]{cc}q_{1}-q_{4}&q_{3}+q_{2}\\ q_{3}-q_{2}&q_{1}+q_{4}\end{array}\right)_{\alpha\dot{\alpha}},$$

(2.10)

在这里我们分别用$a,\dot{a}$和$\alpha,\dot{\alpha}$标记内禀$SL(2)\times SL(2)$的指标与时空$SL(2)\times SL(2)$的指标。类似地，我们可以将运动学方程写作

		$\displaystyle\partial W_{\alpha\dot{\alpha},a\dot{a}}+{(B_{z}^{L})_{\alpha}}^{\beta}W_{\beta\dot{\alpha},a\dot{a}}+{(B_{z}^{R})_{\dot{\alpha}}}^{\dot{\beta}}W_{\alpha\dot{\beta},a\dot{a}}=0,$		(2.11)
		$\displaystyle\bar{\partial}W_{\alpha\dot{\alpha},a\dot{a}}+{(B_{\bar{z}}^{L})_{\alpha}}^{\beta}W_{\beta\dot{\alpha},a\dot{a}}+{(B_{\bar{z}}^{R})_{\dot{\alpha}}}^{\dot{\beta}}W_{\alpha\dot{\beta},a\dot{a}}=0,$

其中$B^{L,R}$是$SL(2)$的左右联络

	$\displaystyle B_{z}^{L}=$	$\displaystyle\left(\begin{array}[]{cc}\frac{1}{2}\partial\alpha&-e^{\alpha}\\ -e^{-\alpha}p(z)&-\frac{1}{2}\partial\alpha\end{array}\right),\quad B_{\bar{z}}^{L}=\left(\begin{array}[]{cc}-\frac{1}{2}\bar{\partial}\alpha&-e^{-\alpha}\bar{p}(\bar{z})\\ -e^{\alpha}&\frac{1}{2}\bar{\partial}\alpha\end{array}\right),$		(2.12)
	$\displaystyle B_{z}^{R}=$	$\displaystyle\left(\begin{array}[]{cc}-\frac{1}{2}\partial\alpha&-e^{-\alpha}p(z)\\ -e^{\alpha}&\frac{1}{2}\partial\alpha\end{array}\right),\quad B_{\bar{z}}^{R}=\left(\begin{array}[]{cc}\frac{1}{2}\bar{\partial}\alpha&-e^{\alpha}\\ e^{-\alpha}\bar{p}(\bar{z})&-\frac{1}{2}\bar{\partial}\alpha\end{array}\right).$

由(2.11)的自洽性条件，我们发现联络$B$是平坦的，即

$$\partial B_{\bar{z}}^{L,R}-\bar{\partial}B_{z}^{L,R}+[B_{z}^{L,R},B_{\bar{z}}^{L,R}]=0.$$

(2.13)

同样的，平坦条件给出了修改sinh-Gordon方程(2.9)。

为了深入探究多边形边界的极小曲面，利用线性问题将十分便捷。首先，我们聚焦于修改Sinh-Gordon方程(2.9)的一个特解$p=1,\alpha=0$。通过规范变换，我们可以将线性问题转化为

$$(\partial_{w}-\zeta^{-1}\sigma_{3})\hat{\psi}=0,\quad({\partial}_{\bar{w}}-\zeta\sigma_{3})\hat{\psi}=0,$$

(2.25)

其独立解可以写作$\hat{\eta}_{+}(\zeta)=(e^{\frac{w}{\zeta}+\bar{w}\zeta},0)^{T},\hat{\eta}_{-}(\zeta)=(0,e^{\frac{w}{\zeta}+\bar{w}\zeta})^{T}$。 $\hat{\eta}_{+}^{L}=\hat{\eta}_{+}(\zeta=1)$与$\hat{\eta}_{-}^{L}$分别在${\rm Re}(w)\to\infty$与${\rm Re}(w)\to-\infty$处指数增长。此时复平面上有两个（anti-Stokes）分段（sector），它们以${\rm Re}(w)=0$为分界。相应地，右线性问题有以${\rm Im}(w)=0$为边界的两个分段。从(2.24)可以观察到，经典弦的世界面共有四个分段构成，这恰好描述了四边形边界条件。

进一步，我们考虑更复杂的$p(z)=z^{n-2}+\cdots$，为了简化我们引入新坐标$dw=\sqrt{p(z)}dz,d\bar{w}=\sqrt{\bar{p}(\bar{z})}d\bar{z}$，(2.9)将变作

$$\partial_{w}\bar{\partial}_{\bar{w}}\hat{\alpha}(w,\bar{w})-e^{2\hat{\alpha}(w,\bar{w})}+e^{-2\hat{\alpha}(w,\bar{w})}=0,$$

(2.26)

其中$\hat{\alpha}=\alpha-\frac{1}{4}\log p\bar{p}$。当$\hat{\alpha}\to 0，z\to\infty$时，我们便在$w-$坐标再现之前特解的情形，每一页上将会有四个分段出现。在$z-$坐标，大$z$极限下我们可以看到有$2n$个分段，这描述了$2n$边形的边界条件。

综上所述，与散射振幅/类光多边形威尔逊环相关的极小曲面由一个多项式$p(z)$及$\alpha$的边界条件所决定

$$p(z)=z^{n-2}+\cdots,\quad e^{2\alpha}\sim\sqrt{p\bar{p}},\quad z\to\infty.$$

(2.27)

为了深入刻画边界条件，我们考虑线性问题的解

$$\psi_{a}=c_{a}^{\rm b}b+c_{a}^{\rm s}s,$$

(2.28)

其总能表示为“大解”$b$和“小解”$s$的线性组合，$c_{a}^{\rm b,s}$是相应的系数。由于我们总能将小解的一部分加到大解中，因此系数$c_{a}^{\rm s}$并没有没有明确定义。相反的，一旦我们为小解选择了一个归一化标准，大解的系数$c_{a}^{\rm b}$就可以明确定义了。在此，我们将归一化条件设定为$b\wedge s=1$，$c_{a}^{\rm b}$便可以用$\psi_{a}$与$s$的内积得到

$$\psi_{a}\wedge s=c_{a}^{\rm b}.$$

(2.29)

在大$z$，经典弦的坐标(2.24)可以近似为

$$Y_{a\dot{a}}\sim(\psi_{a}^{L}\wedge s^{L})(\psi_{\dot{a}}^{R}\wedge s^{R})(b_{\alpha}^{L}M_{1}^{\alpha\dot{\beta}}b_{\dot{\beta}}^{R})\sim\lambda_{a}\tilde{\lambda}_{\dot{a}},$$

(2.30)

其中$\lambda_{a}\sim\psi_{a}^{L}\wedge s^{L},\tilde{\lambda}_{\dot{a}}\sim\psi_{\dot{a}}^{R}\wedge s^{R}$。由此可得$\vec{Y}$的内积为

$$\vec{Y}^{2}=-\frac{1}{2}Y_{a\dot{a}}Y_{b\dot{b}}\epsilon^{ab}\epsilon^{\dot{a}\dot{b}}\sim\frac{1}{2}\lambda_{a}\tilde{\lambda}_{\dot{a}}\lambda_{b}\tilde{\lambda}_{\dot{b}}\epsilon^{ab}\epsilon^{\dot{a}\dot{b}}=0,$$

(2.31)

这意味着大$z$极限下，经典弦在AdS时空的共形边界$\vec{Y}^{2}=0$处。引入Poincare坐标

$$Y_{-1}+Y_{2}=\frac{1}{r},\quad x^{\pm}=\frac{Y_{1}\pm Y_{0}}{Y_{-1}+Y_{2}},$$

(2.32)

可进一步发现

$$x_{ij}^{+}:=x_{i}^{+}-x_{j}^{+}=\frac{\psi_{2}^{L}\wedge s_{i}^{L}}{\psi_{1}^{L}\wedge s_{i}^{L}}-\frac{\psi_{2}^{L}\wedge s_{j}^{L}}{\psi_{1}^{L}\wedge s_{j}^{L}}=-\frac{s_{i}^{L}\wedge s_{j}^{L}}{(\psi_{1}^{L}\wedge s_{i}^{L})(\psi_{1}^{L}\wedge s_{j}^{L})},$$

(2.33)

其中$i,j$是多边形顶点的标记。由此我们得到交比(cross-ratio)

$$\frac{x_{ij}^{+}x_{kl}^{+}}{x_{ik}^{+}x_{jl}^{+}}=\frac{s_{i}^{L}\wedge s_{j}^{L}s_{k}^{L}\wedge s_{l}^{L}}{s_{i}^{L}\wedge s_{k}^{L}s_{j}^{L}\wedge s_{l}^{L}}=:\chi_{ijkl}(\zeta=1)$$

(2.34)

同理，可得$x^{-}$方向的交比为

$$\frac{x_{ij}^{-}x_{kl}^{-}}{x_{ik}^{-}x_{jl}^{-}}=\frac{s_{i}^{R}\wedge s_{j}^{R}s_{k}^{R}\wedge s_{l}^{R}}{s_{i}^{R}\wedge s_{k}^{R}s_{j}^{R}\wedge s_{l}^{R}}=:\chi_{ijkl}(\zeta=i).$$

(2.35)

当$p\sim z^{n-2}$时，左右线性问题分别有$n$个（anti-Stokes）分段。此多边形的顶点可以被标记为$(x_{i}^{+},x_{i-1}^{-})$, $(x_{i}^{+},x_{i}^{-})$, $(x_{i+1}^{+},x_{i}^{-})$, $\cdots$。由此我们得到了在AdS边界处的类光$2n$多边形。从这些交比，我们可以进一步读取光多边形的形状。

左右交比的总个数为$2(n-3)$，这正好与多项式$p(z)$的自由度一致⁷⁷7通过$z$的平移，我们总能将$z^{n-3}$的系数设为0。利用缩放，可将$z^{n-2}$的系数设为1。这样多项式中会有$n-3$个复参数出现。。另外，$2(n-3)$也是2维空间中$2n$边形Wilson圈的自由度的数目，这里$2\times 3$代表$SO(2,2)$的自由度。散射振幅/极小面积等物理量最终都应通过交比来表示。

我们考虑具有以下边界条件的线性问题

$$e^{2\alpha}\sim\sqrt{p\bar{p}},\quad z\to\infty,\quad p(z)=z^{n-2}+c_{n-4}z^{n-4}+\cdots+c_{0}.$$

(3.1)

对于任意谱参量$\zeta$，$w$平面的(anti-Stokes)分段是⁸⁸8这可以从上述$\hat{\eta}_{\pm}(\zeta)$读出。

$$\hat{W}_{j}[\zeta]:(j-\frac{3}{2})\pi+{\rm arg}(\zeta)<{\rm arg}(w)<(j-\frac{1}{2})\pi+{\rm arg}(\zeta).$$

(3.2)

在$z$平面，这些分段可以写作

$$W_{j}[\zeta]:(j-\frac{3}{2})\frac{2\pi}{n}+\frac{2}{n}{\rm arg}(\zeta)<{\rm arg}(z)<(j-\frac{1}{2})\frac{2\pi}{n}+\frac{2}{n}{\rm arg}(\zeta).$$

(3.3)

容易发现联络$B(\zeta)$满足以下$\mathbb{Z}_{2}$变换：

$$\sigma_{3}B_{z,\bar{z}}(\zeta)\sigma_{3}=B_{z,\bar{z}}(e^{i\pi}\zeta),$$

(3.4)

线性问题从而变换为

$$(\partial_{z}+B_{z})\sigma^{3}\psi(z,\bar{z}|e^{i\pi}\zeta)=0.$$

(3.5)

从分段$W_{1}$的小解$s_{1}(\zeta)$，我们可以生成新的解

$$s_{k+1}=(i\sigma^{3})^{k}s_{1}(e^{i\pi k}\zeta),$$

(3.6)

通过这些解的渐近行为，可以发现它们分别是分段$W_{k+1}$上的小解。这些小解的$SL(2)$不变的内积独立于坐标$z$但依存于$\zeta$，并满足以下性质⁹⁹9此内积可以理解为两个向量组成的行列的行列式。

$$(s_{i}\wedge s_{k})(e^{i\pi}\zeta)=(s_{i+1}\wedge s_{k+1})(\zeta),\quad s_{i}\wedge s_{i+1}=1.$$

(3.7)

此外，这些内积满足行列式的Schouten恒等式：

$$s_{i}\wedge s_{j}s_{k}\wedge s_{l}+s_{i}\wedge s_{l}s_{j}\wedge s_{k}+s_{i}\wedge s_{k}s_{l}\wedge s_{j}=0.$$

(3.8)

我们考虑以下内积，并称其为T-函数

$$T_{k}=(s_{0}\wedge s_{k+1})^{[-(k+1)]},$$

(3.9)

这里$f^{[k]}=f(e^{k\frac{\pi i}{2}}\zeta)$。利用(3.7)以及Schouten恒等式(3.8)，我们发现T-函数满足

$$T_{k}^{[-]}T_{k}^{[+]}=1+T_{k-1}T_{k+1},$$

(3.10)

这与可积系统的Hirota方程形式相同。$s_{n}(e^{2\pi i}z,\zeta)$与$s_{0}(z,\zeta)$是处于同一分段的小解。并且由于世界面的光滑性，小解$s(z)$关于$z$是单值的，因此有$s_{n}(e^{2\pi i}z,\zeta)=s_{n}(z,\zeta)\propto s_{0}(z,\zeta)$。从而可以得到

$$T_{n-1}=(s_{0}\wedge s_{n})^{[-n]}=0.$$

(3.11)

由此，我们很自然地将Hirota方程截断。我们称以下非平凡T-函数的Hirota方程为T-系统

$$T_{k},\quad k=0,1,\cdots,n-2.$$

(3.12)

进一步地，我们可以考虑以下小解内积的组合，并称之为Y函数，

	$\displaystyle Y_{2k}=$	$\displaystyle T_{2k-1}T_{2k+1}=\frac{s_{-k}\wedge s_{k}s_{-k-1}\wedge s_{k+1}}{s_{-k-1}\wedge s_{-k}s_{k}\wedge s_{k+1}},$		(3.13)
	$\displaystyle Y_{2k+1}=$	$\displaystyle T_{2k}T_{2k+2}=\Big{[}\frac{s_{-k-1}\wedge s_{k}s_{-k-2}\wedge s_{k+1}}{s_{-k-2}\wedge s_{-k-1}s_{k}\wedge s_{k+1}}\Big{]}^{[+]},$

这里我们用到了小解的归一化条件。从T-系统可以推导出Y函数满足的Y系统

$$Y_{k}^{[-]}Y_{k}^{[+]}=(1+Y_{k-1})(1+Y_{k+1}),\quad k=1,2,\cdots,n-3.$$

(3.14)

这是量子可积系统中的$A_{n-3}$ Y系统[32]。让$\zeta=1,i$，我们可以从Y函数得到相应的交比(2.34) 和(2.35)。

在量子可积系统中，给定Y函数的解析性后，可以将Y系统转化为热力学 Bethe 拟设（TBA）方程。在本节，我们将利用WKB分析计算Y函数在大$\zeta$和小$\zeta$的渐近行为，并推导TBA方程。

我们首先简要介绍小$\zeta$时Y函数的渐近行为分析。通过一些规范变换，总能将线性问题的全纯部分变为¹⁰¹⁰10由于Y函数是规范不变的，这并不会影响渐近行为的分析。

$$\Big{(}\partial_{z}+{\rm diag}(\sqrt{p},-\sqrt{p})\Big{)}\tilde{\psi}=0,$$

(3.15)

在小$\zeta$时，得到$s_{k}$的渐近行为

$$s_{k}\sim C\exp\big{(}\frac{\delta_{k}}{\zeta}\int_{z_{k}}^{z}\sqrt{p}dz\big{)},$$

(3.16)

其中$C$是一个常数向量，$z_{k}$是积分起点。$\delta_{k}=\pm(-1)^{k}$中的正负号取决于小解所在的黎曼面。当积分的径路穿过黎曼面上的分歧线时，这个符号会变化。进一步地，我们可以分析$s_{i}\wedge s_{j}$的渐近行为

$$s_{i}\wedge s_{j}\sim\exp\Big{(}\frac{\delta_{i}}{\zeta}\int_{z_{i}}^{z_{j}}\sqrt{p}dz+\cdots\Big{)},$$

(3.17)

其中黎曼面的选择，总能让$\delta_{i}=-\delta_{j}$。Y函数(3.13)包含4个内积，可以发现相应的4条积分路径总能组合为一个闭合的圈$\gamma$ ¹¹¹¹11通过画出线性问题的Stokes图，我们可以更系统的分析Y函数的渐近行为。这里由于篇幅所限，我们不展开详细分析。感兴趣的读者可以参考[21, 24]。

	$\displaystyle\log{Y}_{2j+1}(\zeta,u_{a})$	$\displaystyle\sim\frac{1}{i\zeta}\oint_{\gamma_{2j+1}}p_{0}(x)dx=:-\frac{m_{2j+1}}{2\zeta},$		(3.18)
	$\displaystyle\log{Y}_{2j}(\zeta,u_{a})$	$\displaystyle\sim\frac{1}{\zeta}\oint_{\gamma_{2j}}p_{0}(x)dx=:-\frac{m_{2j}}{2\zeta},\quad\zeta\to 0,$

其中圈$\gamma_{i}$见图2。同样地，我们可以得到大$\zeta$时的Y函数的渐近行为$\log Y_{k}(\zeta)\to\frac{m_{k}}{2}\zeta+\cdots$。综上所述，我们可以得到Y函数的渐近行为

$$\log Y_{k}=-m_{s}\cosh\theta,\quad\theta\to\pm\infty,$$

(3.19)

其中$\zeta=e^{\theta}$。

在此，我们首先假设$m_{k}$是正实数¹²¹²12这一设定需要选取合适的多项式$p(z)$。。我们引入以下函数

$$\ell_{k}=\log Y_{k}(\theta)-m_{s}\cosh\theta,$$

(3.20)

其在${\rm Im}(\theta)<\pi/2$内是解析的。从Y系统，我们可以推导出

$$\ell_{k}^{[+]}+\ell_{k}^{[-]}=\log\Big{(}(1+Y_{k-1})(1+Y_{k+1})\Big{)}.$$

(3.21)

借助留数积分，我们进一步得到

$$K\star(\ell_{k}^{[+]}+\ell_{k}^{[-]})=\ell_{k},$$

(3.22)

其中$K$是核$K(\theta)=1/(2\pi\cosh\theta)$, $\star$表示卷积。由此，我们得到了TBA方程

$$\log Y_{k}=-m_{k}\cosh\theta+K\star\Big{[}\log(1+Y_{k-1})+\log(1+Y_{k+1})\Big{]},\quad k=1,\cdots,n-3,$$

(3.23)

这是$A_{n-3}$型的TBA方程[32]。

对于一般的多项式$p(z)$，质量$m_{k}$可以是复数。这时我们需要转动$\theta$，以保证$m_{k}/\zeta=|m_{k}|e^{i\phi_{k}}/\zeta$是正实数。这时的Y函数的渐近行为可以写作

$$\log Y_{k}(\theta+i\phi_{k})\sim-|m_{k}|\cosh\theta,\quad\theta\to\pm\infty.$$

(3.24)

类似地，我们可以推导出

$$\log\tilde{Y}_{k}=-|m_{k}|\cosh\theta+K_{s,s-1}\star\log(1+\tilde{Y}_{k-1})+K_{s,s+1}\star\log(1+\tilde{Y}_{k+1}),$$

(3.25)

其中$\tilde{Y}_{k}=Y_{k}(\theta+i\phi_{k})$, $K_{k,j}=K(\theta+i\phi_{k}-i\phi_{j})$。值得强调的是，当$|\phi_{k,k\pm 1}|=\pi/2$时，TBA的核里会出现极点，超越这些极点，我们需要考虑其留数的贡献，并修改TBA方程。这一现象被称为TBA方程的越墙（wall-crossing）效应[24, 33, 34]。为了简化讨论，我们仅考虑$|\phi_{k}-\phi_{k\pm 1}|$以避免越墙效应的发生。